Sejam \mathbf{a}, \mathbf{b} e \mathbf{c} vetores de dimensão n e seja k um número real.
Mostre que \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade comutativa do produto escalar em \mathbb{R}^n: dados os vetores \mathbf{a}=(a_1,\dots,a_n) e \mathbf{b}=(b_1,\dots,b_n), provar que
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}.
O conteúdo é a definição de produto escalar e a comutatividade da multiplicação real.

Passo 2

Pela definição de produto escalar em \mathbb{R}^n, temos
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =\sum_{i=1}^{n}a_i\,b_i.

Passo 3

Em \mathbb{R}, a multiplicação é comutativa, ou seja, para todo i,
a_i\,b_i = b_i\,a_i.
Logo,
\sum_{i=1}^{n}a_i\,b_i =\sum_{i=1}^{n}b_i\,a_i.

Passo 4

Pela definição novamente,
\sum_{i=1}^{n}b_i\,a_i =\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}.
Assim concluímos que
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}.

Resposta

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}.

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