Sejam \mathbf{a}, \mathbf{b} e \mathbf{c} vetores de dimensão n e seja k um número real.
Mostre que (\mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}+\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}.

Passo 1

O enunciado dá vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in\mathbb{R}^n e pede para mostrar a propriedade distributiva do produto escalar, ou seja
(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot\mathbf{c} =\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}.
Usaremos a definição componente a componente do produto escalar e a distributividade dos números reais.

Passo 2

Sejam \mathbf{a}=(a_1,\dots,a_n), \mathbf{b}=(b_1,\dots,b_n) e \mathbf{c}=(c_1,\dots,c_n).
Pela definição do produto escalar,
\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} = \sum_{i=1}^n a_i\,c_i
e
\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} = \sum_{i=1}^n b_i\,c_i.

Passo 3

O vetor soma \mathbf{a}+\mathbf{b} tem componentes (a_i+b_i). Logo,
(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot\mathbf{c} = \sum_{i=1}^n (a_i + b_i)\,c_i.

Passo 4

Pela distributividade do produto em \mathbb{R},
(a_i + b_i)\,c_i = a_i\,c_i + b_i\,c_i.
Assim,
\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)\,c_i = \sum_{i=1}^n \bigl(a_i\,c_i + b_i\,c_i\bigr) = \sum_{i=1}^n a_i\,c_i + \sum_{i=1}^n b_i\,c_i.

Passo 5

Reconhecendo as somas das componentes, temos
\sum_{i=1}^n a_i\,c_i = \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}, \quad \sum_{i=1}^n b_i\,c_i = \mathbf{b}\cdot\mathbf{c},
portanto
(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot\mathbf{c} = \mathbf{a}\cdot\mathbf{c} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}.

Resposta

(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot\mathbf{c} =\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}.

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