Sejam A e B matrizes complexas m \times n, e C uma matriz n \times n invertível.
Mostre que \overline{A+B}=\bar{A}+\bar{B}.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes complexas de tamanho m\times n e pede para mostrar que a conjugação comuta com a soma, isto é,
\overline{A+B} \;=\;\overline{A}\;+\;\overline{B}.
Para resolver, vamos usar a definição de conjugado de uma matriz: aplicar a conjugação complexa a cada entrada.

Passo 2

Definimos a matriz conjugada de M=(m_{ij})\in\mathbb{C}^{m\times n} como
\overline{M} \;=\; (\overline{m_{ij}}),
ou seja, \overline{M}_{ij}=\overline{m_{ij}} para todo 1\le i\le m, 1\le j\le n.

Passo 3

Na soma de matrizes temos
(A+B)_{ij} \;=\; A_{ij} + B_{ij}.
Aplicando conjugação a essa entrada, obtemos
\overline{(A+B)_{ij}} =\overline{\,A_{ij}+B_{ij}\,} =\overline{A_{ij}}+\overline{B_{ij}} =(\overline{A})_{ij}+(\overline{B})_{ij} =(\overline{A}+\overline{B})_{ij}.

Passo 4

Como a igualdade
\overline{(A+B)}_{ij}=(\overline{A}+\overline{B})_{ij}
vale para todo par de índices (i,j), concluímos que as matrizes são iguais:
\overline{A+B} \;=\;\overline{A}+\overline{B}.

Resposta

\overline{A+B} \;=\;\overline{A}+\overline{B}.

Exercícios de Livros Relacionados