Sejam números reais não simultaneamente nulos e seja . Considere a equação polar: .
a. Verifique que a equação dada é a equação de um círculo $\mathcal{C}$.
b. Dê as coordenadas cartesianas do centro de $\mathcal{C}$ e determine a medida de seu raio.

Passo 1

O enunciado dá uma equação polar envolvendo rho, costheta e sintheta. A matéria é conversão de coordenadas polares para cartesianas e reconhecimento de equação de círculo. Vamos usar x=rhocostheta, y=rhosintheta e rho^2=x^2+y^2.

Passo 2

Substituindo em rho^2+2arhocostheta+2brhosintheta=c: temos
rho^2+2a(x)+2b(y)=c
e como rho^2=x^2+y^2, a equação vira
x^2+y^2+2ax+2by=c.

Passo 3

Reescrevendo os termos de e como quadrados completos:
Então

Passo 4

Isso mostra que é a equação de um círculo. Comparando com a forma padrão (x-h)^2+(y-k)^2=R^2, obtemos o centro e o raio.

Resposta

O centro é (-a,-b) e o raio é raiza^2+b^2+c.

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