Sejam
números reais não simultaneamente nulos e seja
. Considere a equação polar: $\quad \rho+2 a \cos \theta+2 b \operatorname{sen} \theta=c$.
a. Verifique que a equação dada é a equação de um círculo $\mathcal{C}$.
b. Dê as coordenadas cartesianas do centro de $\mathcal{C}$ e determine a medida de seu raio.
a. Verifique que a equação dada é a equação de um círculo $\mathcal{C}$.
b. Dê as coordenadas cartesianas do centro de $\mathcal{C}$ e determine a medida de seu raio.
Passo 1
O enunciado dá uma equação polar envolvendo
,
e
. A matéria é conversão de coordenadas polares para cartesianas e reconhecimento de equação de círculo. Vamos usar
,
e
.
Passo 2
Substituindo em
: temos
e como
, a equação vira
Passo 3
Reescrevendo os termos de
e
como quadrados completos:
Então
Passo 4
Isso mostra que é a equação de um círculo. Comparando com a forma padrão
, obtemos o centro e o raio.
Resposta
O centro é
e o raio é
.