Determine a equação polar do círculo de centro P0 e raio r, onde:
r=2 e ,

Passo 1

O enunciado pede a equação em coordenadas polares de um círculo de centro P0=(2,tfracpi3) e raio r=2. O conteúdo aqui é a equação de circunferência em polares, e vamos precisar da expressão da distância entre dois pontos em polares (ou da lei dos cossenos).

Passo 2

Seja um ponto genérico P=(rho,theta) no plano. A condição para esse ponto pertencer ao círculo é que a distância de P a P0 seja r=2:
d(P,P0)=2

Passo 3

Em coordenadas polares, podemos usar a lei dos cossenos para a distância d entre P e P0:
d^2 = rho^2 + rho0^2 - 2rho,rho0cos(theta-theta0),
onde rho0=2 e theta0=tfracpi3.

Passo 4

Substituindo rho0=2, theta0=tfracpi3 e impondo d^2=2^2=4, fica:
4 = rho^2 + 2^2 - 2cdotrhocdot2cosl(theta-tfracpi3r)

Passo 5

Agora simplificamos e isolamos rho. Primeiro:
$$ 4 = \rho^2 +4 -4\rho\cos\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{3}\bigr)
$$
4 = rho^2 +4 -4rhocosl(theta-tfracpi3r)
Dividindo por rho^2 -4rhocosl(theta-tfracpi3r)=0 (exceto no caso trivial rho, mas esse ponto já está contemplado) e isolando, obtemos
rho=0

Resposta

A equação polar do círculo é rho = 4cosl(theta-tfracpi3r).

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