Sejam
u1=(r13 raiz2 13 raiz2 -43 raiz2), u2=(l23 23 13), u3=(c1raiz2 -1raiz2 0)
(a) Mostre que u1, u2, u3 é uma base ortonormal para R^3.
(b) Seja x=(1,1,1)^T. Escreva x como uma combinação linear de u1, u2 e u3 usando o Teorema 5.5.2 e use a fórmula de Parseval para calcular | x|^|.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores
u1=tfrac13raiz2[0.3em]tfrac13raiz2[0.3em]-tfrac43raiz2,
u2=tfrac23[0.3em]tfrac23[0.3em]tfrac13,
u3=tfrac1raiz2[0.3em]-tfrac1raiz2[0.3em]0
e pede:
(a) mostrar que u1,u2,u3 é uma base ortonormal de R^3;
(b) escrever x=(1,1,1)^T como combinação linear dessa base usando o Teorema 5.5.2 (coeficientes via produto interno) e aplicar a fórmula de Parseval para calcular |x|.]

Passo 2

Verificamos a normalização calculando |ui| para cada i. Por definição
|ui| = raizlang<= ui,uirang<=
Para u1:
lang<= u1,u1rang<= =l(tfrac13raiz2r)^2 +l(tfrac13raiz2r)^2 +l(-tfrac43raiz2r)^2 =tfrac118+tfrac118+tfrac1618 =tfrac1818=1,
logo |u1|=1. De modo análogo, ao elevar cada componente de u2 e de u3 ao quadrado e somar, obtemos também 1.

Passo 3

Agora checamos a ortogonalidade calculando lang<= ui,ujrang<= para ineq j. Por exemplo,
lang<= u1,u2rang<= =tfrac13raiz2cdottfrac23 +tfrac13raiz2cdottfrac23 +(-tfrac43raiz2)cdottfrac13 =tfrac29raiz2+tfrac29raiz2-tfrac49raiz2 =0
Fazendo o mesmo para os pares (1,3) e (2,3) obtemos zero também.

Passo 4

Como cada |ui|=1 e lang<= ui,ujrang<==0 para ineq j, concluímos que u1,u2,u3 é um sistema ortonormal. Além disso, são três vetores em R^3, logo formam uma base ortonormal de R^3.

Passo 5

Pelo Teorema 5.5. 2, a expansão de x=(1,1,1)^T nessa base é
x =sumi=1^3lang<= x,uirang<=,ui
Calculamos cada coeficiente:
lang<= x,u1rang<= =tfrac1+1-43raiz2 =-tfrac23raiz2, lang<= x,u2rang<= =tfrac2+2+13 =tfrac53, lang<= x,u3rang<= =tfrac1-1+0raiz2 =0
Logo
x =-23raiz2,u1 +53,u2 +0cdotu3

Passo 6

A fórmula de Parseval diz que, numa base ortonormal completa,
|x|^2 =sumi=1^3llang<= x,uirrang<=^2
Substituindo os coeficientes:
|x|^2 =l(-tfrac23raiz2r)^2 +l(tfrac53r)^2 +0^2 =tfrac418+tfrac259 =tfrac29+tfrac259 =tfrac279=3
Portanto |x|=raiz3.

Resposta

(a) u1,u2,u3 é base ortonormal de R^3.
(b) x=-tfrac23raiz2u1+tfrac53u2+0,u3 e |x|=raiz3.

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