Sucessivos arcos são marcados em um círculo de modo que cada arco tenha uma corda de mesmo comprimento que o raio. Prove que o sexto arco termina no ponto onde o primeiro arco começa.

Passo 1

O enunciado considera um círculo de raio R e pede para marcarmos sucessivamente arcos cujas cordas têm comprimento igual a R. Queremos mostrar que, após seis desses arcos, o ponto de chegada coincide com o ponto de partida. Para isso vamos usar a propriedade de um triângulo formado por dois raios e a corda correspondente, e a soma dos ângulos centrais que percorrem o círculo.

Passo 2

Seja O o centro do círculo e A,B os extremos de uma corda de comprimento AB=R. Como também valem OA=OB=R, o triângulo OAB tem todos os lados iguais a R. Logo, ele é equilátero e todos os seus ângulos internos valem
ang<= AOB=60^circ

Passo 3

Cada arco cuja corda mede R corresponde, portanto, a um ângulo central de 60^circ. Fazendo seis arcos consecutivos, o ângulo central total percorrido é
6times 60^circ = 360^circ,
que equivale a uma volta completa no círculo.

Passo 4

Como uma volta completa traz de volta ao ponto inicial, concluímos que o sexto arco termina exatamente onde o primeiro começou.

Resposta

O sexto arco termina no ponto onde o primeiro arco começou.