Sucessivos arcos são marcados em um círculo de modo que cada arco tenha uma corda de mesmo comprimento que o raio. Prove que o sexto arco termina no ponto onde o primeiro arco começa.
Passo 1
O enunciado considera um círculo de raio e pede para marcarmos sucessivamente arcos cujas cordas têm comprimento igual a . Queremos mostrar que, após seis desses arcos, o ponto de chegada coincide com o ponto de partida. Para isso vamos usar a propriedade de um triângulo formado por dois raios e a corda correspondente, e a soma dos ângulos centrais que percorrem o círculo.
Passo 2
Seja o centro do círculo e os extremos de uma corda de comprimento . Como também valem , o triângulo tem todos os lados iguais a . Logo, ele é equilátero e todos os seus ângulos internos valem
Passo 3
Cada arco cuja corda mede 6times 60^circ = 360^circ, corresponde, portanto, a um ângulo central de . Fazendo seis arcos consecutivos, o ângulo central total percorrido é
que equivale a uma volta completa no círculo.
Passo 4
Como uma volta completa traz de volta ao ponto inicial, concluímos que o sexto arco termina exatamente onde o primeiro começou.
Resposta
O sexto arco termina no ponto onde o primeiro arco começou.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - João Lucas Marques Barbosa - Geometria Euclidiana Plana - 2ª Edição - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 18