Use substituição para resolver cada um dos sistemas de equações a seguir.
x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=5
\begin{aligned} 3 x_{2}+x_{3}-2 x_{4} & =1 \\\\ -x_{3}+2 x_{4} & =-1 \\\\ 4 x_{4} & =4 \end{aligned}

Passo 1

Temos um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}). O enunciado pede para usar o método da substituição:
\begin{cases} x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} + x_{4} = 5,\\\\ 3x_{2} + x_{3} - 2x_{4} = 1,\\\\ -\,x_{3} + 2x_{4} = -1,\\\\ 4x_{4} = 4. \end{cases}
Vamos resolver começando pela última equação, que é a mais simples.

Passo 2

Da equação
4x_{4} = 4
segue-se que
x_{4} = 1.

Passo 3

Substituindo x_{4}=1 na terceira equação
-\,x_{3} + 2x_{4} = -1
temos
-\,x_{3} + 2\cdot1 = -1 \quad\Longrightarrow\quad -\,x_{3} + 2 = -1 \quad\Longrightarrow\quad -\,x_{3} = -3 \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = 3.

Passo 4

Agora substituímos x_{3}=3 e x_{4}=1 na segunda equação
3x_{2} + x_{3} - 2x_{4} = 1
ficando
3x_{2} + 3 - 2\cdot1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 3x_{2} + 1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 3x_{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = 0.

Passo 5

Por fim, substituímos x_{2}=0, x_{3}=3 e x_{4}=1 na primeira equação
x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} + x_{4} = 5
para encontrar x_{1}:
x_{1} + 2\cdot0 + 2\cdot3 + 1 = 5 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} + 7 = 5 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = -2.

Resposta

x_{1} = -2,\;x_{2} = 0,\;x_{3} = 3,\;x_{4} = 1.

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