Use os teoremas sobre limites para determinar o limite, quando existe.
\lim _{x \rightarrow 1 / 2} \frac{4 x^{2}-6 x+3}{16 x^{3}+8 x-7}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to \tfrac12} \frac{4x^{2}-6x+3}{16x^{3}+8x-7}.
O conteúdo é limites de funções racionais e vamos usar os teoremas que dizem que polinômios são contínuos em todo lugar e que o limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o denominador não se anule no ponto.

Passo 2

Pela continuidade de polinômios, temos
\lim_{x\to \tfrac12}(4x^{2}-6x+3) =\;4\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}-6\bigl(\tfrac12\bigr)+3
e
\lim_{x\to \tfrac12}(16x^{3}+8x-7) =\;16\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}+8\bigl(\tfrac12\bigr)-7,
contanto que este último não seja zero.

Passo 3

Calculemos o numerador no ponto:
4\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}-6\bigl(\tfrac12\bigr)+3 =4\cdot\tfrac14 -3 +3 =1-3+3 =1.

Passo 4

Calculemos o denominador no ponto:
16\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}+8\bigl(\tfrac12\bigr)-7 =16\cdot\tfrac18 +4 -7 =2+4-7 =-1.
Como -1\neq0, podemos aplicar o teorema do quociente.

Passo 5

Pelo teorema do quociente de limites,
\lim_{x\to \tfrac12}\frac{4x^{2}-6x+3}{16x^{3}+8x-7} =\frac{1}{-1} =-1.

Resposta

-1

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