Verifique que o círculo de equação x^2+y^2=r^2 é invariante pela simetria em relação a qualquer reta que passe pela origem.

Passo 1

A questão pede para verificar que o círculo de equação x^2+y^2=r^2 é invariante pela simetria (reflexão) em qualquer reta que passe pela origem. O conteúdo envolvido é isometrias no plano, em particular reflexão axial, e vamos precisar da expressão de reflexão de um ponto (x,y) em uma reta que forma ângulo alpha com o eixo x, mostrando que essa reflexão preserva a distância ao centro.

Passo 2

Escolhemos uma reta L que passa pela origem e faz ângulo alpha com o eixo x. O versor diretor dessa reta é u=(cosalpha,sinalpha). Dado um ponto p=(x,y), sua projeção em L é
pparal<=l=(pcdotu),u,
e a componente perpendicular é pperp=p-pparal<=l. Ao refletir, mantemos a parte paralela e invertemos a perpendicular, resultando em
p'=pparal<=l-pperp=2(pcdotu),u-p

Passo 3

Agora vamos calcular o quadrado da norma de p' para ver se ela coincide com a de p. Temos
|p'|^2=p'cdotp'=[2(pcdotu),u-p]cdot[2(pcdotu),u-p]
Ao expandir, aparecem dois termos iguais com sinais opostos e sobra
|p'|^2=4(pcdotu)^2-4(pcdotu)^2+|p|^2=|p|^2

Passo 4

Como |p|^2=x^2+y^2=r^2 para pontos do círculo, segue que também |p'|^2=r^2. Ou seja, o ponto refletido (x',y') permanece sobre o mesmo círculo. Assim concluímos que o círculo x^2+y^2=r^2 é de fato invariante por reflexão em qualquer reta passando pela origem.

Resposta

O círculo x^2+y^2=r^2 é invariante sob qualquer simetria em relação a reta que passa pela origem, pois a reflexão em tal reta preserva a distância ao centro e mapeia pontos do círculo em pontos que satisfazem a mesma equação.

Exercícios de Livros Relacionados