Verifique que o círculo de equação
é invariante pela simetria em relação a qualquer reta que passe pela origem.
Passo 1
A questão pede para verificar que o círculo de equação
é invariante pela simetria (reflexão) em qualquer reta que passe pela origem. O conteúdo envolvido é isometrias no plano, em particular reflexão axial, e vamos precisar da expressão de reflexão de um ponto
em uma reta que forma ângulo
com o eixo
, mostrando que essa reflexão preserva a distância ao centro.
Passo 2
Escolhemos uma reta
que passa pela origem e faz ângulo
com o eixo
. O versor diretor dessa reta é
. Dado um ponto
, sua projeção em
é
e a componente perpendicular é
. Ao refletir, mantemos a parte paralela e invertemos a perpendicular, resultando em
Passo 3
Agora vamos calcular o quadrado da norma de
para ver se ela coincide com a de
. Temos
Ao expandir, aparecem dois termos iguais com sinais opostos e sobra
Passo 4
Como
para pontos do círculo, segue que também
. Ou seja, o ponto refletido
permanece sobre o mesmo círculo. Assim concluímos que o círculo
é de fato invariante por reflexão em qualquer reta passando pela origem.
Resposta
O círculo
é invariante sob qualquer simetria em relação a reta que passa pela origem, pois a reflexão em tal reta preserva a distância ao centro e mapeia pontos do círculo em pontos que satisfazem a mesma equação.