O vetor \vec{v} é ortogonal aos vetores \vec{v}_{1}=(3,2,2) e \vec{v}_{2}=(18,-22,-5) e forma um ângulo obtuso com o versor \vec{j} do eixo O y. Calcular as coordenadas de \vec{v} se
|\vec{v}|=14

Passo 1

O enunciado pede um vetor \vec v=(x,y,z) tal que ele seja ortogonal a
\vec v_{1}=(3,2,2) e \vec v_{2}=(18,-22,-5), tenha norma \lvert\vec v\rvert=14 e forme ângulo obtuso com o versor \vec j (logo \vec v\cdot\vec j<0, isto é, y<0).

Passo 2

Para obter um vetor ortogonal a \vec v_{1} e \vec v_{2} usamos o produto vetorial:
\vec v_{0} = \vec v_{1}\times \vec v_{2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 3 & 2 & 2\\\\ 18 & -22 & -5 \end{vmatrix} = \bigl(34,\;51,\;-102\bigr).

Passo 3

Calculamos o módulo de \vec v_{0}:
\lvert\vec v_{0}\rvert = \sqrt{34^{2} + 51^{2} + (-102)^{2}} = \sqrt{1156 + 2601 + 10404} = \sqrt{14161} = 119.

Passo 4

Escalamos \vec v_{0} para ter norma 14. O fator de escala é
\frac{14}{119} = \frac{2}{17},
logo os candidatos são
\vec v = \pm \frac{2}{17}\,(34,51,-102) = \pm (4,6,-12).

Passo 5

Como queremos ângulo obtuso com \vec j, o componente y deve ser negativo. Entre (4,6,-12) e (-4,-6,12), somente (-4,-6,12) tem y<0.

Resposta

\vec v = (-4,\,-6,\,12).

Exercícios de Livros Relacionados