De alguma forma, pode a soma dos módulos de dois vetores ser igual ao módulo da soma dos mesmos vetores? Se não, por que não? Se sim, quando?

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se pode acontecer que a soma dos módulos de dois vetores seja igual ao módulo da soma desses vetores; se isso for possível, explicar quando; se não, justificar por que não.
Informações dadas (implícitas): temos dois vetores quaisquer \mathbf{u} e \mathbf{v} em um espaço euclidiano (por exemplo \mathbb{R}^n). A notação que vamos usar: \|\mathbf{u}\| para o módulo (norma) do vetor \mathbf{u} e \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} para o produto escalar entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.

Passo 2

Primeiro lembramos a definição do módulo (norma) em termos do produto escalar. Para qualquer vetor \mathbf{w},
\|\mathbf{w}\|=\sqrt{\mathbf{w}\cdot\mathbf{w}}.
Isso significa que podemos escrever o quadrado do módulo da soma como
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2=(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}).
Vamos desenvolver esse produto escalar para obter uma expressão que relacione \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\| com \|\mathbf{u}\|, \|\mathbf{v}\| e \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.

Passo 3

Desenvolvendo o produto escalar:
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2=(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}+2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}.
Usando a definição da norma,
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2=\|\mathbf{u}\|^2+2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\|\mathbf{v}\|^2.
Por outro lado, o quadrado da soma dos módulos é
\bigl(\|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|\bigr)^2=\|\mathbf{u}\|^2+2\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|+\|\mathbf{v}\|^2.
Comparando as duas expressões, vemos que para ter \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\| (ambos não-negativos), é necessário e suficiente que
2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|
ou seja
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|.

Passo 4

Agora interpretamos a condição \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|. Pela fórmula do produto escalar em termos do ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v},
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta.
Portanto a igualdade acima equivale a
\cos\theta=1.
Isso acontece exatamente quando \theta=0, ou seja, quando os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido. Em linguagem de vetores: existe \lambda\ge 0 tal que \mathbf{v}=\lambda\mathbf{u}. (Se \lambda=0 então \mathbf{v}=\mathbf{0} e a igualdade também vale de forma óbvia.)

Passo 5

Explicando com mais intuição geométrica: a desigualdade
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|\le \|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|
é a desigualdade triangular (soma de comprimentos do dois lados de um triângulo é maior ou igual ao terceiro lado). A igualdade só ocorre quando o “triângulo” degenerou em uma única reta, isto é, quando \mathbf{u} e \mathbf{v} apontam exatamente para o mesmo lado (mesmo sentido), de modo que ao colocá‑los ponta a ponta eles formam um segmento reto sem dobra.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se \mathbf{u}=(1,0) e \mathbf{v}=(2,0), então \|\mathbf{u}\|=1, \|\mathbf{v}\|=2 e \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|=\|(3,0)\|=3. Aqui \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|. Os vetores estão na mesma direção e mesmo sentido.
  • Se \mathbf{u}=(1,0) e \mathbf{v}=(0,1) (ortogonais), \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|=\sqrt{2}<2=\|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|. Aqui a desigualdade é estrita.
  • Se \mathbf{v}=-\mathbf{u} (sentidos opostos e mesmo direção), \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|=0 e \|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|=2\|\mathbf{u}\|, portanto a igualdade não vale, exceto no caso \mathbf{u}=\mathbf{0}.

Resposta

Sim. A igualdade \|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\| ocorre se, e somente se, \mathbf{u} e \mathbf{v} têm a mesma direção e o mesmo sentido (ou seja, \mathbf{v}=\lambda\mathbf{u} com \lambda\ge 0; inclui o caso em que um vetor é o vetor zero). Caso contrário, a desigualdade é estrita.

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