De alguma forma, pode a soma dos módulos de dois vetores ser igual ao módulo da soma dos mesmos vetores? Se não, por que não? Se sim, quando?
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se pode acontecer que a soma dos módulos de dois vetores seja igual ao módulo da soma desses vetores; se isso for possível, explicar quando; se não, justificar por que não.
Informações dadas (implícitas): temos dois vetores quaisquer e
em um espaço euclidiano (por exemplo
). A notação que vamos usar:
para o módulo (norma) do vetor
e
para o produto escalar entre
e
.
Informações dadas (implícitas): temos dois vetores quaisquer
Passo 2
Primeiro lembramos a definição do módulo (norma) em termos do produto escalar. Para qualquer vetor
,
Isso significa que podemos escrever o quadrado do módulo da soma como
Vamos desenvolver esse produto escalar para obter uma expressão que relacione
com
,
e
.
Passo 3
Desenvolvendo o produto escalar:
Usando a definição da norma,
Por outro lado, o quadrado da soma dos módulos é
Comparando as duas expressões, vemos que para ter
(ambos não-negativos), é necessário e suficiente que
ou seja
Passo 4
Agora interpretamos a condição
. Pela fórmula do produto escalar em termos do ângulo
entre
e
,
Portanto a igualdade acima equivale a
Isso acontece exatamente quando
, ou seja, quando os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido. Em linguagem de vetores: existe
tal que
. (Se
então
e a igualdade também vale de forma óbvia.)
Passo 5
Explicando com mais intuição geométrica: a desigualdade
é a desigualdade triangular (soma de comprimentos do dois lados de um triângulo é maior ou igual ao terceiro lado). A igualdade só ocorre quando o “triângulo” degenerou em uma única reta, isto é, quando
e
apontam exatamente para o mesmo lado (mesmo sentido), de modo que ao colocá‑los ponta a ponta eles formam um segmento reto sem dobra.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
e , então , e . Aqui . Os vetores estão na mesma direção e mesmo sentido. - Se
e (ortogonais), . Aqui a desigualdade é estrita. - Se
(sentidos opostos e mesmo direção), e , portanto a igualdade não vale, exceto no caso .
Resposta
Sim. A igualdade
ocorre se, e somente se,
e
têm a mesma direção e o mesmo sentido (ou seja,
com
; inclui o caso em que um vetor é o vetor zero). Caso contrário, a desigualdade é estrita.