3.9 (a) Deduza uma equação semelhante à do Problema 3.8 para o trabalho d^{\prime} W, quando temperatura de um arame tensionado varia de d T e a tensão varia de d \mathscr{F}. (b) Encontre expressão para o trabalho, quando a temperatura é mudada e a tensão é mantida constante Qual o sinal algébrico de W, se a temperatura aumenta? (c) Encontre a expressão do trabalh quando a tensão é variada isotermicamente. Qual o sinal algébrico de W se a tensão diminui?

Passo 1

O enunciado pede três coisas relacionadas ao trabalho realizado por um arame tensionado quando mudam a temperatura e/ou a tensão:
  • (a) Deduzir uma equação análoga à do Problema 3.8 para o incremento de trabalho \mathrm{d}'W quando a temperatura varia de \mathrm{d}T e a tensão varia de \mathrm{d}\mathscr{F}.
  • (b) Encontrar a expressão do trabalho quando a temperatura muda enquanto a tensão é mantida constante, e dizer o sinal algébrico de W se a temperatura aumenta.
  • (c) Encontrar a expressão do trabalho quando a tensão é variada isotermicamente (temperatura constante), e dizer o sinal algébrico de W se a tensão diminui.
Informações implícitas que vamos usar (todas elas vêm do enunciado ou do comportamento físico do arame):
  • O comprimento do arame L depende de T e de \mathscr{F}, portanto podemos escrever L=L(T,\mathscr{F}).
  • O incremento de trabalho realizado pelo arame numa pequena variação de comprimento é o produto da tensão instantânea pelo incremento de comprimento (convenção: \mathrm{d}'W é trabalho realizado pelo arame).
  • Para situações elásticas lineares podemos relacionar a variação de comprimento com a tensão através da lei de Hooke para tração (usando módulo de Young E e área da secção transversal A), e a variação com a temperatura através do coeficiente de dilatação linear \alpha.

Passo 2

Primeiro, vou explicar a fórmula básica do trabalho e como tratar o fato de L depender de duas variáveis.
Fórmula física do trabalho: quando uma força (aqui, a tensão \mathscr{F}) age e provoca um pequeno deslocamento \mathrm{d}L na direção da força, o trabalho realizado pelo corpo (arame) é
\mathrm{d}'W=\mathscr{F}\,\mathrm{d}L.
Aqui \mathscr{F} é a tensão instantânea (força ao longo do arame) e \mathrm{d}L o pequeno aumento de comprimento. Essa é a razão física: trabalho = força × deslocamento.
Agora, como L depende de T e de \mathscr{F}, aplicamos a regra da cadeia (diferencial total) para escrever \mathrm{d}L. A regra da cadeia diz que, para uma função L(T,\mathscr{F}),
\mathrm{d}L=\left(\frac{\partial L}{\partial T}\right)_{\mathscr{F}} \mathrm{d}T + \left(\frac{\partial L}{\partial \mathscr{F}}\right)_{T} \mathrm{d}\mathscr{F}.
Explicando: \left(\frac{\partial L}{\partial T}\right)_{\mathscr{F}} é a taxa de variação do comprimento com a temperatura mantendo a tensão fixa; \left(\frac{\partial L}{\partial \mathscr{F}}\right)_{T} é a taxa de variação do comprimento quando mudamos a tensão mantendo a temperatura fixa.
Substituindo \mathrm{d}L na expressão do trabalho obtemos imediatamente a equação desejada (esta já responde o item (a), mas eu vou detalhar e dar formas úteis a seguir).

Passo 3

Combinação das expressões (resposta do item a, com explicação didática):
Substituindo a expressão da diferencial total de L na expressão do trabalho,
\mathrm{d}'W=\mathscr{F}\,\mathrm{d}L = \mathscr{F}\left(\left(\frac{\partial L}{\partial T}\right)_{\mathscr{F}}\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial L}{\partial \mathscr{F}}\right)_{T}\mathrm{d}\mathscr{F}\right).
Essa é a equação pedida: ela mostra que o trabalho tem duas contribuições — a que vem da variação de comprimento induzida pela variação de temperatura e a que vem da variação de comprimento induzida pela variação de tensão.
Vou agora traduzir essas derivadas parciais em quantidades físicas usuais para ficar prático na prova.

Passo 4

Definições físicas úteis e como trocar as derivadas por quantidades conhecidas:
  1. Coeficiente de dilatação linear \alpha: é definido por
\alpha \equiv \frac{1}{L}\left(\frac{\partial L}{\partial T}\right)_{\mathscr{F}}.
Isto é, \left(\frac{\partial L}{\partial T}\right)_{\mathscr{F}}=\alpha L. Significado: para materiais comuns \alpha>0 e um aquecimento \mathrm{d}T>0 aumenta o comprimento.
  1. Complacência elástica (derivada de comprimento em relação à força) para um arame elástico linear: supondo comportamento linear (lei de Hooke para tração), a deformação uniaxial (strain) é \varepsilon=\Delta L/L_0=\mathscr{F}/(EA), onde E é o módulo de Young e A é a área da secção. Daí, a variação do comprimento com a tensão é (mantendo T fixo)
\left(\frac{\partial L}{\partial \mathscr{F}}\right)_{T} = \frac{L_0}{EA},
onde L_0 é o comprimento de referência (por exemplo, comprimento no estado de referência sem tensão). Em aproximação linear essa derivada é constante. Vou chamar esta quantidade de c (complacência):
c \equiv \left(\frac{\partial L}{\partial \mathscr{F}}\right)_{T} = \frac{L_0}{EA}.
Observação: às vezes se usa L instantâneo no numerador; para pequenas variações a diferença entre usar L_0 ou L é de ordem superior e o resultado prático na prova costuma usar L_0.
Substituindo essas expressões na fórmula do trabalho obtemos uma forma muito prática.

Passo 5

Reescrevendo a expressão do trabalho com \alpha e c:
Usando \left(\frac{\partial L}{\partial T}\right)_{\mathscr{F}}=\alpha L e \left(\frac{\partial L}{\partial \mathscr{F}}\right)_{T}=c, a equação do item (a) fica
\mathrm{d}'W=\mathscr{F}\,\big(\alpha L\,\mathrm{d}T + c\,\mathrm{d}\mathscr{F}\big).
Isso é útil porque já separa claramente a contribuição térmica ( \propto \mathrm{d}T) e a contribuição mecânica ( \propto \mathrm{d}\mathscr{F}).
Agora tratamos os itens (b) e (c) explicitamente, usando essa forma.

Passo 6

Item (b): temperatura varia, tensão mantida constante ( \mathrm{d}\mathscr{F}=0).
Com \mathrm{d}\mathscr{F}=0 a fórmula reduz a
\mathrm{d}'W=\mathscr{F}\,\alpha L\,\mathrm{d}T.
Explicação didática: se a tensão é mantida constante e o arame é aquecido ( \mathrm{d}T>0 e \alpha>0), o comprimento aumenta ( \mathrm{d}L>0) e o arame se desloca contra a força externa \mathscr{F}, realizando trabalho positivo sobre o ambiente. Assim:
  • Se \mathrm{d}T>0 e \alpha>0 então \mathrm{d}'W>0: o arame faz trabalho.
  • Se o material tivesse coeficiente de dilatação negativo ( \alpha<0), o sinal se inverte.
Essa expressão é prática: em prova, diga \mathrm{d}'W=\mathscr{F}\alpha L\,\mathrm{d}T e explique o sinal como acima.

Passo 7

Item (c): variação de tensão isotérmica ( \mathrm{d}T=0).
Com \mathrm{d}T=0 a expressão fica
\mathrm{d}'W=\mathscr{F}\,c\,\mathrm{d}\mathscr{F}.
Para uma variação finita de tensão de \mathscr{F}_1 para \mathscr{F}_2, integremos (assumindo c constante, isto é, regime elástico linear):
W=\int_{\mathscr{F}_1}^{\mathscr{F}_2} \mathscr{F}\,c\,\mathrm{d}\mathscr{F} = \frac{c}{2}\big(\mathscr{F}_2^2-\mathscr{F}_1^2\big).
Substituindo c=\dfrac{L_0}{EA} obtemos a forma prática
W=\frac{L_0}{2EA}\big(\mathscr{F}_2^2-\mathscr{F}_1^2\big).
Análise do sinal: se a tensão diminui ( \mathscr{F}_2<\mathscr{F}_1) então \mathscr{F}_2^2-\mathscr{F}_1^2<0 e, portanto, W<0. Interpretação física: quando a tensão diminui o arame encurta ( \mathrm{d}L<0) e, como a força \mathscr{F} é positiva, o produto \mathscr{F}\,\mathrm{d}L é negativo — isto é, o arame recebe trabalho (o ambiente faz trabalho sobre ele).

Passo 8

Breve recapitulação para fixar — respostas prontas para a prova:
  • (a) Diferencial geral:
\mathrm{d}'W=\mathscr{F}\left(\left(\frac{\partial L}{\partial T}\right)_{\mathscr{F}}\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial L}{\partial \mathscr{F}}\right)_{T}\mathrm{d}\mathscr{F}\right),
ou, usando \alpha e c,
\mathrm{d}'W=\mathscr{F}\,\big(\alpha L\,\mathrm{d}T + c\,\mathrm{d}\mathscr{F}\big).
  • (b) \mathrm{d}\mathscr{F}=0:
\mathrm{d}'W=\mathscr{F}\,\alpha L\,\mathrm{d}T.
Se a temperatura aumenta ( \mathrm{d}T>0) e \alpha>0, então W>0 (o arame realiza trabalho).
  • (c) \mathrm{d}T=0:
\mathrm{d}'W=\mathscr{F}\,c\,\mathrm{d}\mathscr{F}.
Para variação finita, W=\dfrac{c}{2}\big(\mathscr{F}_2^2-\mathscr{F}_1^2\big). Com c=\dfrac{L_0}{EA},
W=\frac{L_0}{2EA}\big(\mathscr{F}_2^2-\mathscr{F}_1^2\big).
Se a tensão diminui ( \mathscr{F}_2<\mathscr{F}_1) então W<0 (o arame recebe trabalho).

Resposta

(a) \displaystyle \mathrm{d}'W=\mathscr{F}\left(\left(\frac{\partial L}{\partial T}\right)_{\mathscr{F}}\mathrm{d}T+\left(\frac{\partial L}{\partial \mathscr{F}}\right)_{T}\mathrm{d}\mathscr{F}\right)=\mathscr{F}\big(\alpha L\,\mathrm{d}T+c\,\mathrm{d}\mathscr{F}\big).
(b) \displaystyle \mathrm{d}'W=\mathscr{F}\,\alpha L\,\mathrm{d}T. Se a temperatura aumenta ( \mathrm{d}T>0) e \alpha>0, então W>0.
(c) \displaystyle \mathrm{d}'W=\mathscr{F}\,c\,\mathrm{d}\mathscr{F}. Para variação finita \displaystyle W=\frac{c}{2}\big(\mathscr{F}_2^2-\mathscr{F}_1^2\big) (com c=\dfrac{L_0}{EA}, W=\dfrac{L_0}{2EA}(\mathscr{F}_2^2-\mathscr{F}_1^2)). Se a tensão diminui ( \mathscr{F}_2<\mathscr{F}_1) então W<0.

Exercícios relacionados