3.9 (a) Deduza uma equação semelhante à do Problema 3.8 para o trabalho
, quando temperatura de um arame tensionado varia de
e a tensão varia de
. (b) Encontre expressão para o trabalho, quando a temperatura é mudada e a tensão é mantida constante Qual o sinal algébrico de
, se a temperatura aumenta? (c) Encontre a expressão do trabalh quando a tensão é variada isotermicamente. Qual o sinal algébrico de
se a tensão diminui?
Passo 1
O enunciado pede três coisas relacionadas ao trabalho realizado por um arame tensionado quando mudam a temperatura e/ou a tensão:
- (a) Deduzir uma equação análoga à do Problema 3.8 para o incremento de trabalho
quando a temperatura varia de e a tensão varia de . - (b) Encontrar a expressão do trabalho quando a temperatura muda enquanto a tensão é mantida constante, e dizer o sinal algébrico de
se a temperatura aumenta. - (c) Encontrar a expressão do trabalho quando a tensão é variada isotermicamente (temperatura constante), e dizer o sinal algébrico de
se a tensão diminui.
Informações implícitas que vamos usar (todas elas vêm do enunciado ou do comportamento físico do arame):
- O comprimento do arame
depende de e de , portanto podemos escrever . - O incremento de trabalho realizado pelo arame numa pequena variação de comprimento é o produto da tensão instantânea pelo incremento de comprimento (convenção:
é trabalho realizado pelo arame). - Para situações elásticas lineares podemos relacionar a variação de comprimento com a tensão através da lei de Hooke para tração (usando módulo de Young
e área da secção transversal ), e a variação com a temperatura através do coeficiente de dilatação linear .
Passo 2
Primeiro, vou explicar a fórmula básica do trabalho e como tratar o fato de
depender de duas variáveis.
Fórmula física do trabalho: quando uma força (aqui, a tensão
) age e provoca um pequeno deslocamento
na direção da força, o trabalho realizado pelo corpo (arame) é
Aqui
é a tensão instantânea (força ao longo do arame) e
o pequeno aumento de comprimento. Essa é a razão física: trabalho = força × deslocamento.
Agora, como
depende de
e de
, aplicamos a regra da cadeia (diferencial total) para escrever
. A regra da cadeia diz que, para uma função
,
Explicando:
é a taxa de variação do comprimento com a temperatura mantendo a tensão fixa;
é a taxa de variação do comprimento quando mudamos a tensão mantendo a temperatura fixa.
Substituindo
na expressão do trabalho obtemos imediatamente a equação desejada (esta já responde o item (a), mas eu vou detalhar e dar formas úteis a seguir).
Passo 3
Combinação das expressões (resposta do item a, com explicação didática):
Substituindo a expressão da diferencial total de
na expressão do trabalho,
Essa é a equação pedida: ela mostra que o trabalho tem duas contribuições — a que vem da variação de comprimento induzida pela variação de temperatura e a que vem da variação de comprimento induzida pela variação de tensão.
Vou agora traduzir essas derivadas parciais em quantidades físicas usuais para ficar prático na prova.
Passo 4
Definições físicas úteis e como trocar as derivadas por quantidades conhecidas:
- Coeficiente de dilatação linear
: é definido por
Isto é,
. Significado: para materiais comuns
e um aquecimento
aumenta o comprimento.
- Complacência elástica (derivada de comprimento em relação à força) para um arame elástico linear: supondo comportamento linear (lei de Hooke para tração), a deformação uniaxial (strain) é
, onde é o módulo de Young e é a área da secção. Daí, a variação do comprimento com a tensão é (mantendo fixo)
onde
é o comprimento de referência (por exemplo, comprimento no estado de referência sem tensão). Em aproximação linear essa derivada é constante. Vou chamar esta quantidade de
(complacência):
Observação: às vezes se usa
instantâneo no numerador; para pequenas variações a diferença entre usar
ou
é de ordem superior e o resultado prático na prova costuma usar
.
Substituindo essas expressões na fórmula do trabalho obtemos uma forma muito prática.
Passo 5
Reescrevendo a expressão do trabalho com
e
:
Usando
e
, a equação do item (a) fica
Isso é útil porque já separa claramente a contribuição térmica (
) e a contribuição mecânica (
).
Agora tratamos os itens (b) e (c) explicitamente, usando essa forma.
Passo 6
Item (b): temperatura varia, tensão mantida constante (
).
Com
a fórmula reduz a
Explicação didática: se a tensão é mantida constante e o arame é aquecido (
e
), o comprimento aumenta (
) e o arame se desloca contra a força externa
, realizando trabalho positivo sobre o ambiente. Assim:
- Se
e então : o arame faz trabalho. - Se o material tivesse coeficiente de dilatação negativo (
), o sinal se inverte.
Essa expressão é prática: em prova, diga
e explique o sinal como acima.
Passo 7
Item (c): variação de tensão isotérmica (
).
Com
a expressão fica
Para uma variação finita de tensão de
para
, integremos (assumindo
constante, isto é, regime elástico linear):
Substituindo
obtemos a forma prática
Análise do sinal: se a tensão diminui (
) então
e, portanto,
. Interpretação física: quando a tensão diminui o arame encurta (
) e, como a força
é positiva, o produto
é negativo — isto é, o arame recebe trabalho (o ambiente faz trabalho sobre ele).
Passo 8
Breve recapitulação para fixar — respostas prontas para a prova:
- (a) Diferencial geral:
ou, usando
e
,
- (b)
:
Se a temperatura aumenta (
) e
, então
(o arame realiza trabalho).
- (c)
:
Para variação finita,
. Com
,
Se a tensão diminui (
) então
(o arame recebe trabalho).
Resposta
(a)
.
(b) . Se a temperatura aumenta (
) e
, então
.
(c) . Para variação finita
(com
,
). Se a tensão diminui (
) então
.
(b)
(c)