\alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva regular. Obtenha \alpha^{\prime \prime \prime}(s) como combinação linear do triedro de Frenet de \alpha em s.

Passo 1

O enunciado pede: obter \alpha^{\prime\prime\prime}(s) como combinação linear do triedro de Frenet de \alpha em s.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (peguei isso do enunciado ao usar a notação s):
  • \alpha:I\to\mathbb{R}^3 é uma curva regular e está parametrizada pelo comprimento de arco s. Portanto \|\alpha'(s)\|=1 para todo s.
  • O triedro de Frenet em s é o tripé de vetores unitários \{T(s),N(s),B(s)\} (tangente, normal principal e binormal) bem definidos quando a curvatura \kappa(s)\neq0.
  • Quero escrever \alpha^{\prime\prime\prime}(s) como combinação linear desses vetores, isto é encontrar coeficientes a(s),b(s),c(s) tais que
\alpha^{\prime\prime\prime}(s)=a(s)T(s)+b(s)N(s)+c(s)B(s).

Passo 2

Vou lembrar e explicar as definições que preciso (tudo em termos do parâmetro de comprimento de arco s):
  • O vetor tangente unitário é
T(s)=\alpha'(s).
Como \alpha está parametrizada por comprimento de arco, \|T(s)\|=1.
  • A curvatura \kappa(s) mede quanto a curva está se curvando; é definida por
\kappa(s)=\|T'(s)\|=\|\alpha''(s)\|.
Em pontos em que \kappa(s)\neq0 define-se o vetor normal principal unitário:
N(s)=\frac{T'(s)}{\kappa(s)}.
  • O binormal é o produto vetorial
B(s)=T(s)\times N(s),
que é unitário e ortogonal aos dois anteriores.
  • A torsão \tau(s) mede a tendência da curva em “sair” do plano osculador; uma definição útil é
\tau(s)=\langle N'(s),B(s)\rangle,
ou equivalentemente \tau(s)=-\langle B'(s),N(s)\rangle. Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto escalar.
Essas definições valem sempre que se usa o parâmetro arco s. Se a curva não estivesse parametrizada por arco, as fórmulas seriam mais complicadas (envolveriam a velocidade), mas como o enunciado pede \alpha^{\prime\prime\prime}(s) e usa s, assumimos o parâmetro de arco.

Passo 3

As fórmulas de Frenet–Serret (explicadas acima) relacionam as derivadas dos vetores do triedro com \kappa e \tau. Para curva unit-speed temos:
T'(s)=\kappa(s)\,N(s),
N'(s)=-\kappa(s)\,T(s)+\tau(s)\,B(s),
B'(s)=-\tau(s)\,N(s).
Estas fórmulas seguem diretamente das definições: por exemplo T'(s) é ortogonal a T (porque \|T\|=1 implica \langle T',T\rangle=0), logo T' é múltiplo de N; o fator é \kappa por definição. As outras são obtidas diferenciando as relações de ortogonalidade e conservação de norma e isolando componentes.

Passo 4

Agora faço o cálculo pedido, explicando cada passo:
Queremos \alpha^{\prime\prime\prime}(s). Como \alpha'(s)=T(s), temos
\alpha^{\prime\prime\prime}(s)=T''(s).
Use a regra do produto (derivada de produto escalar/vetor) para T'(s)=\kappa(s)N(s). Diferenciando ambos os lados em s obtemos
T''(s)=\big(\kappa(s)N(s)\big)'.
Aplicando a regra da derivada do produto (aqui produto de função escalar \kappa(s) por vetor N(s)):
\big(\kappa N\big)'=\kappa' N + \kappa N'.
Portanto
\alpha^{\prime\prime\prime}(s)=\kappa'(s)\,N(s)+\kappa(s)\,N'(s).
Agora substituo a expressão de N'(s) dada pelas fórmulas de Frenet–Serret:
N'(s)=-\kappa(s)\,T(s)+\tau(s)\,B(s).
Substituindo:
\alpha^{\prime\prime\prime}(s)=\kappa'(s)\,N(s)+\kappa(s)\big(-\kappa(s)\,T(s)+\tau(s)\,B(s)\big).
Agrupando os termos:
\alpha^{\prime\prime\prime}(s)=-\kappa(s)^2\,T(s)+\kappa'(s)\,N(s)+\kappa(s)\tau(s)\,B(s).

Passo 5

Interpretação e observações práticas (dicas para a prova):
  • A expressão final mostra claramente os coeficientes na base \{T,N,B\}: o coeficiente de T é -\kappa^2, de N é \kappa' e de B é \kappa\tau.
  • É importante lembrar que isso foi feito supondo parametrização por comprimento de arco. Se a curva estiver em outro parâmetro t, primeiro ou usar as fórmulas gerais envolvendo a velocidade \|\alpha'(t)\| e suas derivadas, ou reparametrizar por arco.
  • Se \kappa(s)= constante e \tau(s)=0 (ex.: circunferência plana), então \alpha^{\prime\prime\prime}(s)=-\kappa^2 T(s) (porque \kappa'=0 e \tau=0).
  • Se \kappa e \tau forem constantes (ex.: hélice circular), então \alpha^{\prime\prime\prime}(s)=-\kappa^2 T(s)+\kappa\tau B(s).

Resposta

\alpha^{\prime\prime\prime}(s)=-\kappa(s)^{2}\,T(s)+\kappa'(s)\,N(s)+\kappa(s)\tau(s)\,B(s)

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