uma curva regular. Obtenha
como combinação linear do triedro de Frenet de
em
.
Passo 1
O enunciado pede: obter
como combinação linear do triedro de Frenet de
em
.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (peguei isso do enunciado ao usar a notação ):
Informações dadas e hipóteses que vou usar (peguei isso do enunciado ao usar a notação
-
é uma curva regular e está parametrizada pelo comprimento de arco . Portanto para todo . - O triedro de Frenet em
é o tripé de vetores unitários (tangente, normal principal e binormal) bem definidos quando a curvatura . - Quero escrever
como combinação linear desses vetores, isto é encontrar coeficientes tais que
Passo 2
Vou lembrar e explicar as definições que preciso (tudo em termos do parâmetro de comprimento de arco
):
- O vetor tangente unitário é
Como
está parametrizada por comprimento de arco,
.
- A curvatura
mede quanto a curva está se curvando; é definida por
Em pontos em que
define-se o vetor normal principal unitário:
- O binormal é o produto vetorial
que é unitário e ortogonal aos dois anteriores.
- A torsão
mede a tendência da curva em “sair” do plano osculador; uma definição útil é
ou equivalentemente
. Aqui
é o produto escalar.
Essas definições valem sempre que se usa o parâmetro arco
. Se a curva não estivesse parametrizada por arco, as fórmulas seriam mais complicadas (envolveriam a velocidade), mas como o enunciado pede
e usa
, assumimos o parâmetro de arco.
Passo 3
As fórmulas de Frenet–Serret (explicadas acima) relacionam as derivadas dos vetores do triedro com
e
. Para curva unit-speed temos:
Estas fórmulas seguem diretamente das definições: por exemplo
é ortogonal a
(porque
implica
), logo
é múltiplo de
; o fator é
por definição. As outras são obtidas diferenciando as relações de ortogonalidade e conservação de norma e isolando componentes.
Passo 4
Agora faço o cálculo pedido, explicando cada passo:
Queremos
. Como
, temos
Use a regra do produto (derivada de produto escalar/vetor) para
. Diferenciando ambos os lados em
obtemos
Aplicando a regra da derivada do produto (aqui produto de função escalar
por vetor
):
Portanto
Agora substituo a expressão de
dada pelas fórmulas de Frenet–Serret:
Substituindo:
Agrupando os termos:
Passo 5
Interpretação e observações práticas (dicas para a prova):
- A expressão final mostra claramente os coeficientes na base
: o coeficiente de é , de é e de é . - É importante lembrar que isso foi feito supondo parametrização por comprimento de arco. Se a curva estiver em outro parâmetro
, primeiro ou usar as fórmulas gerais envolvendo a velocidade e suas derivadas, ou reparametrizar por arco. - Se
constante e (ex.: circunferência plana), então (porque e ). - Se
e forem constantes (ex.: hélice circular), então .