\alpha \mid a base canônica do \mathbb{R}^{2} e T o operador linear sobre o \mathbb{R}^{2} satisfazendo [T]_{\alpha}^{\alpha}=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ -1 & 5\end{array}\right]. Existe uma base \beta do \mathbb{R}^{2}, tal que [T]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] ?
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica \alpha é
Para resolver isso vamos usar: definição de matriz de transformação em bases diferentes, existência de solução de T(x)=y quando T é inversível, e independência linear preservada por isomorfismos.
Passo 2
Escrever o que a condição [T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} significa em termos de v_1,v_2. As colunas dessa matriz são as coordenadas de T(v_1) e T(v_2) na base \alpha. Logo, devemos ter
Verificar se há solução para T(x)=y. A matriz de T em \alpha é
A=\begin{pmatrix}1&3\\\ -1&5\end{pmatrix},
cujo determinante é
\det(A)=1\cdot5-(-1)\cdot3=5+3=8\neq0.
Como \det(A)\neq0, T é invertível (um isomorfismo). Logo, para qualquer vetor y\in\mathbb{R}^2 existe único x tal que T(x)=y. Em particular, existem únicos v_1 e v_2 tais que
T(v_1)=e_1, \quad T(v_2)=e_1+e_2.
Passo 4
Mostrar que \{v_1,v_2\} é base. Como T é invertível, T preserva independência linear: se \{e_1,e_1+e_2\} é LI, então \{v_1,v_2\}= \{T^{-1}(e_1),T^{-1}(e_1+e_2)\} também é LI. E como são dois vetores em \mathbb{R}^2, formam base.
Verifica-se \det\bigl[v_1\;v_2\bigr]=1/8\neq0, confirmando que \{v_1,v_2\} é base e de fato [T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}.