Das alternativas a seguir, marque aquela que é incorreta.
a) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a
.
b) Todo polígono convexo possui diagonal.
c) Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes.
d) Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos são menores que 180º.
e) O pentágono possui 5 diagonais.
a) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a
b) Todo polígono convexo possui diagonal.
c) Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes.
d) Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos são menores que 180º.
e) O pentágono possui 5 diagonais.
Passo 1
O que o enunciado pede: identificar qual das alternativas (a) a (e) é incorreta. As alternativas dadas são:
a) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a
.
b) Todo polígono convexo possui diagonal.
c) Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes.
d) Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos são menores que
.
e) O pentágono possui
diagonais.
Informações que temos (do próprio enunciado): são afirmações sobre polígonos; temos que decidir quais são verdadeiras e qual é falsa. A resolução vai verificar cada alternativa cuidadosamente.
Passo 2
Definições básicas e lembretes fundamentais (vamos mastigar bem isso porque é a base de tudo):
-
Polígono: figura plana limitada por segmentos de reta conectados formando um caminho fechado; os pontos onde os segmentos se encontram são chamados de vértices. Se o polígono tem
vértices, dizemos que é um polígono -ângulo (por exemplo, triângulo , quadrilátero , pentágono ). -
Lado: segmento que liga dois vértices consecutivos.
-
Diagonal: segmento que liga dois vértices que não são consecutivos (ou seja, não é lado). Em linguagem curtinha: diagonal = conexão entre vértices não adjacentes.
-
Polígono convexo: polígono em que, para qualquer par de pontos dentro do polígono, o segmento que os une fica totalmente dentro do polígono. Uma forma equivalente e mais prática para provas: um polígono é convexo se todos os seus ângulos internos são menores que
.
Vou usar essas definições para checar cada alternativa.
Passo 3
Verificação da alternativa (a): soma dos ângulos internos de um quadrilátero.
Fórmula geral da soma dos ângulos internos de um polígono com
lados:
Explicação rápida dessa fórmula: qualquer polígono convexo pode ser partido em
triângulos a partir de um vértice; cada triângulo tem soma de ângulos
; somando dá
.
Para um quadrilátero temos
. Assim
Logo a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 4
Verificação da alternativa (b): “Todo polígono convexo possui diagonal.”
Vamos aplicar a definição de diagonal: um polígono precisa ter dois vértices não consecutivos para que exista uma diagonal. Quantos vértices mínimos um polígono pode ter?
(triângulo). Em um triângulo, cada vértice é adjacente aos outros dois — não existem vértices não consecutivos — portanto um triângulo não tem diagonais. Agora, triângulos são convêxos: todo triângulo tem todos os ângulos internos menores que
(na verdade cada ângulo menor que
e a soma é
), então o triângulo é um exemplo de polígono convexo que não possui diagonal.
Portanto a frase “Todo polígono convexo possui diagonal” é falsa, porque o contraexemplo é o triângulo (convexo e sem diagonais). Conclusão provisória: a alternativa (b) está incorreta.
Passo 5
Verificação da alternativa (c): definição de polígono regular.
Definição: Um polígono é regular quando todos os seus lados são congruentes (todos iguais) e todos os seus ângulos internos são congruentes (todos iguais). Essa é a definição padrão. Logo a alternativa (c) é verdadeira.
Passo 6
Verificação da alternativa (d): definição de polígono convexo.
Já usamos acima: polígono convexo <=> todos os ângulos internos são menores que
. Essa é uma caracterização correta e amplamente usada. Portanto a alternativa (d) é verdadeira.
Passo 7
Verificação da alternativa (e): número de diagonais do pentágono.
Fórmula para o número de diagonais de um polígono com
vértices:
Duas maneiras de ver essa fórmula:
- Contando segmentos entre vértices: existem
segmentos entre pares de vértices; desses, são lados; o restante são diagonais, então . - Ou por vértice: de cada vértice saem
diagonais (não pode ligar a si mesmo nem aos dois vértices adjacentes); somando por todos os vértices conta-se cada diagonal duas vezes, daí dividir por .
Para o pentágono
:
Portanto a alternativa (e) é verdadeira.
Passo 8
Resumo e conclusão: avaliamos cada alternativa e encontramos que (b) é falsa (contraexemplo: triângulo é convexo e não tem diagonais). Todas as outras são verdadeiras.
Força — você já sabe identificar esses conceitos básicos: soma de ângulos
, número de diagonais
, e as definições de convexo/regular. Isso resolve a questão.
Resposta
b)