Das alternativas a seguir, marque aquela que é incorreta.
a) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360^{\circ}.
b) Todo polígono convexo possui diagonal.
c) Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes.
d) Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos são menores que 180º.
e) O pentágono possui 5 diagonais.

Passo 1

O que o enunciado pede: identificar qual das alternativas (a) a (e) é incorreta. As alternativas dadas são:
a) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a \,360^\circ.
b) Todo polígono convexo possui diagonal.
c) Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes.
d) Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos são menores que 180^\circ.
e) O pentágono possui 5 diagonais.
Informações que temos (do próprio enunciado): são afirmações sobre polígonos; temos que decidir quais são verdadeiras e qual é falsa. A resolução vai verificar cada alternativa cuidadosamente.

Passo 2

Definições básicas e lembretes fundamentais (vamos mastigar bem isso porque é a base de tudo):
  • Polígono: figura plana limitada por segmentos de reta conectados formando um caminho fechado; os pontos onde os segmentos se encontram são chamados de vértices. Se o polígono tem n vértices, dizemos que é um polígono n-ângulo (por exemplo, triângulo n=3, quadrilátero n=4, pentágono n=5).
  • Lado: segmento que liga dois vértices consecutivos.
  • Diagonal: segmento que liga dois vértices que não são consecutivos (ou seja, não é lado). Em linguagem curtinha: diagonal = conexão entre vértices não adjacentes.
  • Polígono convexo: polígono em que, para qualquer par de pontos dentro do polígono, o segmento que os une fica totalmente dentro do polígono. Uma forma equivalente e mais prática para provas: um polígono é convexo se todos os seus ângulos internos são menores que 180^\circ.
Vou usar essas definições para checar cada alternativa.

Passo 3

Verificação da alternativa (a): soma dos ângulos internos de um quadrilátero.
Fórmula geral da soma dos ângulos internos de um polígono com n lados:
\text{soma dos ângulos internos} = (n-2)\cdot 180^\circ.â
Explicação rápida dessa fórmula: qualquer polígono convexo pode ser partido em n-2 triângulos a partir de um vértice; cada triângulo tem soma de ângulos 180^\circ; somando dá (n-2)\cdot 180^\circ.
Para um quadrilátero temos n=4. Assim
(4-2)\cdot 180^\circ = 2\cdot 180^\circ = 360^\circ.
Logo a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 4

Verificação da alternativa (b): “Todo polígono convexo possui diagonal.”
Vamos aplicar a definição de diagonal: um polígono precisa ter dois vértices não consecutivos para que exista uma diagonal. Quantos vértices mínimos um polígono pode ter? n=3 (triângulo). Em um triângulo, cada vértice é adjacente aos outros dois — não existem vértices não consecutivos — portanto um triângulo não tem diagonais. Agora, triângulos são convêxos: todo triângulo tem todos os ângulos internos menores que 180^\circ (na verdade cada ângulo menor que 180^\circ e a soma é 180^\circ), então o triângulo é um exemplo de polígono convexo que não possui diagonal.
Portanto a frase “Todo polígono convexo possui diagonal” é falsa, porque o contraexemplo é o triângulo (convexo e sem diagonais). Conclusão provisória: a alternativa (b) está incorreta.

Passo 5

Verificação da alternativa (c): definição de polígono regular.
Definição: Um polígono é regular quando todos os seus lados são congruentes (todos iguais) e todos os seus ângulos internos são congruentes (todos iguais). Essa é a definição padrão. Logo a alternativa (c) é verdadeira.

Passo 6

Verificação da alternativa (d): definição de polígono convexo.
Já usamos acima: polígono convexo <=> todos os ângulos internos são menores que 180^\circ. Essa é uma caracterização correta e amplamente usada. Portanto a alternativa (d) é verdadeira.

Passo 7

Verificação da alternativa (e): número de diagonais do pentágono.
Fórmula para o número de diagonais de um polígono com n vértices:
\text{nº de diagonais} = \frac{n(n-3)}{2}.º
Duas maneiras de ver essa fórmula:
  • Contando segmentos entre vértices: existem \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2} segmentos entre pares de vértices; desses, n são lados; o restante são diagonais, então \frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-3)}{2}.
  • Ou por vértice: de cada vértice saem n-3 diagonais (não pode ligar a si mesmo nem aos dois vértices adjacentes); somando por todos os n vértices conta-se cada diagonal duas vezes, daí dividir por 2.
Para o pentágono n=5:
\frac{5(5-3)}{2}=\frac{5\cdot 2}{2}=5.
Portanto a alternativa (e) é verdadeira.

Passo 8

Resumo e conclusão: avaliamos cada alternativa e encontramos que (b) é falsa (contraexemplo: triângulo é convexo e não tem diagonais). Todas as outras são verdadeiras.
Força — você já sabe identificar esses conceitos básicos: soma de ângulos (n-2)180^\circ, número de diagonais \dfrac{n(n-3)}{2}, e as definições de convexo/regular. Isso resolve a questão.

Resposta

b)

Exercícios relacionados