Determine a medida de um ângulo externo de um polígono regular cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a
.
Passo 1
O enunciado dá a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular igual a
.\n
O que nos pedem: determinar a medida de um ângulo externo desse polígono regular.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
— soma das medidas dos ângulos internos (toda a soma, não de um só).
O polígono é regular, ou seja, todos os ângulos internos têm a mesma medida e todos os ângulos externos também têm a mesma medida.
O que nos pedem: determinar a medida de um ângulo externo desse polígono regular.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O polígono é regular, ou seja, todos os ângulos internos têm a mesma medida e todos os ângulos externos também têm a mesma medida.
Passo 2
Vamos usar a fórmula que relaciona a soma dos ângulos internos ao número de lados do polígono. Primeiro, explicação didática dessa fórmula:\n
Se você traçar diagonais a partir de um vértice de um polígono convexo com lados, essas diagonais dividem o polígono em
triângulos. Cada triângulo tem soma de ângulos igual a
. Portanto, somando os ângulos de todos esses triângulos obtemos a soma dos ângulos internos do polígono. Assim chegamos à fórmula
Se você traçar diagonais a partir de um vértice de um polígono convexo com
onde
é o número de lados (ou vértices) do polígono. Aqui cada variável significa:
= número de lados/vértices do polígono;
= soma dos ângulos internos de um triângulo;
= quantidade de triângulos formados pela triangulação descrita.
Passo 3
Aplicamos a fórmula ao caso dado, substituindo a soma por
:
Agora resolvemos essa equação para
. Primeiro isolamos
:
Vamos dividir
por
. Uma forma rápida de ver:
. Logo
Somando
dos dois lados obtemos
Concluímos que o polígono tem
lados (ou vértices).
Passo 4
Agora precisamos relacionar ângulo interno e ângulo externo. Explicação didática:\n
Em cada vértice de um polígono convexo, o ângulo externo (aquele formado ao prolongar um lado e medir o ângulo fora do polígono) é suplemento do ângulo interno desse vértice, ou seja,
Em cada vértice de um polígono convexo, o ângulo externo (aquele formado ao prolongar um lado e medir o ângulo fora do polígono) é suplemento do ângulo interno desse vértice, ou seja,
Outra propriedade muito usada e mais prática para polígonos (especialmente regulares) é: a soma dos ângulos externos (um por vértice, todos tomados no mesmo sentido) de qualquer polígono convexo vale
. Para um polígono regular, todos os ângulos externos têm a mesma medida, então cada ângulo externo vale
onde
é o número de lados. Essas duas relações são compatíveis entre si e ambas podem ser usadas; a segunda é direta para polígonos regulares.
Passo 5
Usando a fórmula para polígonos regulares e o valor encontrado de
: