Determine a medida de um ângulo externo de um polígono regular cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a 5040^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular igual a \;5040^\circ.\n
O que nos pedem: determinar a medida de um ângulo externo desse polígono regular.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;5040^\circ — soma das medidas dos ângulos internos (toda a soma, não de um só).
O polígono é regular, ou seja, todos os ângulos internos têm a mesma medida e todos os ângulos externos também têm a mesma medida.

Passo 2

Vamos usar a fórmula que relaciona a soma dos ângulos internos ao número de lados do polígono. Primeiro, explicação didática dessa fórmula:\n
Se você traçar diagonais a partir de um vértice de um polígono convexo com n lados, essas diagonais dividem o polígono em (n-2) triângulos. Cada triângulo tem soma de ângulos igual a \;180^\circ. Portanto, somando os ângulos de todos esses triângulos obtemos a soma dos ângulos internos do polígono. Assim chegamos à fórmula
\text{soma dos ângulos internos} = (n-2)\cdot 180^\circ,â
onde n é o número de lados (ou vértices) do polígono. Aqui cada variável significa:
\;n = número de lados/vértices do polígono;
\;180^\circ = soma dos ângulos internos de um triângulo;
\;(n-2) = quantidade de triângulos formados pela triangulação descrita.

Passo 3

Aplicamos a fórmula ao caso dado, substituindo a soma por \;5040^\circ:
(n-2)\cdot 180^\circ = 5040^\circ.
Agora resolvemos essa equação para n. Primeiro isolamos (n-2):
n-2 = \frac{5040^\circ}{180^\circ}.
Vamos dividir \;5040 por \;180. Uma forma rápida de ver: \;180\cdot 28 = (200-20)\cdot 28 = 5600 - 560 = 5040. Logo
n-2 = 28.
Somando 2 dos dois lados obtemos
n = 28 + 2 = 30.
Concluímos que o polígono tem \;30 lados (ou vértices).

Passo 4

Agora precisamos relacionar ângulo interno e ângulo externo. Explicação didática:\n
Em cada vértice de um polígono convexo, o ângulo externo (aquele formado ao prolongar um lado e medir o ângulo fora do polígono) é suplemento do ângulo interno desse vértice, ou seja,
\text{ângulo interno} + \text{ângulo externo} = 180^\circ.ââ
Outra propriedade muito usada e mais prática para polígonos (especialmente regulares) é: a soma dos ângulos externos (um por vértice, todos tomados no mesmo sentido) de qualquer polígono convexo vale \;360^\circ. Para um polígono regular, todos os ângulos externos têm a mesma medida, então cada ângulo externo vale
\text{ângulo externo} = \frac{360^\circ}{n},â
onde n é o número de lados. Essas duas relações são compatíveis entre si e ambas podem ser usadas; a segunda é direta para polígonos regulares.

Passo 5

Usando a fórmula para polígonos regulares e o valor encontrado de n:
\text{ângulo externo} = \frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{30}.â

Resposta

12^\circ

Exercícios relacionados