Um alto-falante para sons graves vibra a uma frequência de \underline{220} \mathrm{~Hz}, com amplitude de 1,0 \times 10^{-5} \mathrm{~m}. Considerando que esse equipamento vibra como um pistĩo, que a densidade do ar seja igual a \rho=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, determine:
A intensidade da onda sonora nas proximidades do alto-falante.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a quantidade especificada:
  • Frequência da vibração: \,f=220\\ \mathrm{Hz}.
  • Amplitude da oscilação (deslocamento máximo do pistão): \,s_{m}=1,0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Densidade do ar: \,\rho=1,2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • O alto-falante deve ser tratado como um pistão que gera uma onda sonora nas proximidades (modelo de onda progressiva aproximadamente plana).
  • Pedido: determinar a intensidade média da onda sonora nas proximidades do alto-falante (intensidade acústica média I).

Passo 2

Conceito físico e fórmula geral que vamos usar. Para uma onda sonora harmônica progressiva (aproximadamente plana) as grandezas principais são a pressão acústica p(t) e a velocidade de partícula u(t). Para oscilações harmônicas com amplitude máxima p_{\max} e u_{\max} temos:
p(t)=p_{\max}\cos(\omega t),\qquad u(t)=u_{\max}\cos(\omega t).
A intensidade instantânea é p(t)u(t) e a intensidade média (sobre um período) é a média temporal de p(t)u(t). Para sinais harmônicos em fase isso resulta em
I=\frac{1}{2}p_{\max}u_{\max}.
Aqui explico as variáveis: I é a intensidade média (energia por unidade de área e por unidade de tempo, em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}), p_{\max} é a amplitude da pressão sonora (Pa), u_{\max} é a amplitude da velocidade das partículas do ar (m/s) e \omega é a frequência angular (rad/s).

Passo 3

Relação entre pressão máxima e velocidade máxima para uma onda plana. Para uma onda sonora progressiva em um fluido com velocidade do som c e densidade \rho vale a relação
p_{\max}=\rho c\, u_{\max}.
Substituindo essa relação na expressão para I obtemos a fórmula conveniente
I=\frac{1}{2}\rho c\, u_{\max}^{2}.
Aqui c é a velocidade do som no ar. Como o enunciado não fornece c, usamos o valor típico do ar à temperatura ambiente: c\approx343\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. (Se a prova pedir, dá pra usar c\approx340\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}; o resultado muda muito pouco.)

Passo 4

Relação entre velocidade máxima das partículas u_{\max} e a amplitude de deslocamento do pistão s_{m}. Para movimento harmônico simples com frequência angular \omega temos
u_{\max}=\omega s_{m},
onde \omega é a frequência angular dada por
\omega=2\pi f.
Agora vamos calcular numericamente \omega e u_{\max} usando \,f=220\\ \mathrm{Hz} e \,s_{m}=1,0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculos numéricos passo a passo:
  • Calcular \omega:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot220=440\pi\approx1385{,}44\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcular u_{\max}:
u_{\max}=\omega s_{m}\approx1385{,}44\times(1,0\times10^{-5})=0,0138544\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular u_{\max}^{2}:
u_{\max}^{2}\approx(0,0138544)^{2}\approx1,9195\times10^{-4}\\ \mathrm{(m/s)^{2}}.
  • Usar a fórmula da intensidade
I=\frac{1}{2}\rho c\, u_{\max}^{2}.
Substituindo \rho=1,2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, c=343\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} e o valor de u_{\max}^{2}:
I\approx\frac{1}{2}\times1,2\times343\times1,9195\times10^{-4}.
  • Calcule passo a passo: \tfrac{1}{2}\times1,2=0,6. Depois 0,6\times343=205,8. Finalmente
I\approx205,8\times1,9195\times10^{-4}\approx3,95\times10^{-2}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o valor obtido \,I\approx3,95\times10^{-2}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} é razoável para um som grave próximo ao alto-falante; se quiser comparar com nível sonoro em decibéis dá pra calcular L=10\log_{10}(I/I_{0}) com I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}. Mas como a pergunta só pedia a intensidade, encerramos aqui. Você mandou bem em acompanhar passo a passo!

Resposta

I\approx3,95\times10^{-2}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}

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