Determine os componentes das reações em D e E quando a estrutura é carregada por um binário no sentido horário de intensidade 150 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} aplicado
em B.

Passo 1

O enunciado diz que há uma estrutura com um binário (momento concentrado) aplicado em B de intensidade \,150\\ \mathrm{N\cdot m} no sentido horário, e pede as componentes das reações em D e E.
Informações explícitas dadas: \,M_B = 150\\ \mathrm{N\cdot m} (sentido horário).
Informações que o enunciado não fornece (e que são essenciais para resolver numericamente): 1) a figura/diagrama da estrutura; 2) a posição geométrica dos pontos B, D e E (coordenadas ou distâncias entre eles); 3) o tipo de apoio em D e em E (pino, engaste, rolete, etc.), ou seja, quais componentes de reação cada apoio pode oferecer; 4) se a estrutura é um corpo rígido isolado, uma viga engastada num ponto, um conjunto hiperestático, etc.; 5) quaisquer outras cargas além do binário (se existirem).
Sem a figura e essas informações, não é possível obter valores numéricos únicos para as componentes das reações em D e E.

Passo 2

Por que essas informações faltantes são decisivas? Vou explicar com calma:
  • O tipo de apoio determina quantas e quais incógnitas de reação existem. Por exemplo, um pino dá reações R_x e R_y (duas componentes), um rolete geralmente só R_y (uma componente vertical), e um engaste fornece R_x, R_y e um momento de reação M. Sem saber o tipo, não sabemos quais incógnitas devemos calcular.
  • A posição relativa entre os pontos determina os braços de momento que convertem forças de reação em momento estático. Um binário (momento puro) tem resultado nulo em forças resultantes, mas as reações nas restrições precisam produzir um momento equivalente através de seus braços; sem as distâncias não se calcula esse momento de equilíbrio.
  • Dependendo da combinação de apoios a estrutura pode ser estaticamente determinada ou indeterminada; o procedimento e o número de equações que podemos usar mudam.

Passo 3

Agora te ensino o procedimento geral (passo a passo que você faria na prova assim que tiver a figura e os dados). Vou descrever com muitos detalhes para você poder aplicar diretamente:
  1. Isolar a estrutura e desenhar o diagrama de corpo livre (DCL). No DCL desenhe o binário \,M_B em B e todas as reações em D e E com incógnitas. Nomeie, por exemplo, as componentes D_x, D_y e E_x, E_y quando cada apoio puder resistir forças horizontais e verticais. Se algum apoio fornecer momento, inclua M_D ou M_E conforme o caso.
  2. Escrever as equações de equilíbrio no plano (estática 2D). As equações gerais são:
\sum F_x = 0
\sum F_y = 0
\sum M_O = 0
Explique o que cada uma significa: \sum F_x=0 diz que a soma das forças horizontais (positivas para a direita) é zero; \sum F_y=0 soma das forças verticais (positivas para cima) é zero; \sum M_O=0 soma dos momentos (com um sinal definido: geralmente sentido anti-horário positivo) em torno de um ponto O é zero. Sempre escolha um sentido e mantenha coerência nos sinais.
3) Escolher pontos para somar momentos de modo a eliminar incógnitas. Por exemplo, somar momentos em D elimina D_x e D_y das contribuições (já que seu braço em D é zero), o que ajuda a encontrar reações em E. Use as coordenadas (ou distâncias) entre os pontos para calcular os braços.

Passo 4

Vou escrever explicitamente as equações de equilíbrio em termos de incógnitas, para você ver o padrão e replicar na prova. Suponha que cada apoio pode fornecer duas componentes (caso geral): incógnitas D_x,\\ D_y,\\ E_x,\\ E_y. Então as equações são:
Em x:
\sum F_x = D_x + E_x + (\text{somatório de outras forças horizontais}) = 0óç
Em y:
\sum F_y = D_y + E_y + (\text{somatório de outras forças verticais}) = 0óç
Momento em torno de um ponto escolhido, por exemplo D: se a posição de E em relação a D é dada por (x_{DE},y_{DE}) e a posição de B em relação a D é (x_{DB},y_{DB}), a equação de momentos fica (adotando sentido anti-horário positivo)
\sum M_D = M_B + E_x\,(y_{DE}) - E_y\,(x_{DE}) + (\text{momentos de outras forças em relação a }D) = 0.ççã
Observe que aqui eu escrevi M_B diretamente na equação de momento porque um binário é um momento livre: ele entra na soma de momentos independentemente do ponto de referência. Atenção aos sinais: se M_B é horário e adotamos anti-horário positivo, então o termo correspondente será -M_B (ou escrevemos M_B e escolhemos M_B com sinal negativo desde o início). Sempre converta o sentido do binário para o sinal apropriado.

Passo 5

Algumas situações típicas que costumam aparecer na prova — e como proceder em cada uma (para você reconhecer rápido na hora da avaliação):
  • Caso A: D é pino (dois componentes) e E é rolete (uma componente vertical) em uma viga retilínea horizontal com distância L entre D e E. Não há outras cargas, só o binário em B. Como o binário não gera força resultante, a soma vertical exige D_y + E_y = 0. Para equilibrar o momento, as reações verticais formam um par de forças opostas cujo momento resultante vale o binário. Se as reações verticais agem em separado por distância L, teremos (tomando convenções de sinal)
E_y\cdot L = M_B \quad\Rightarrow\quad E_y = \dfrac{M_B}{L},\qquad D_y = -E_y.
Isto é típico quando somente forças verticais são possíveis e as reações horizontais são nulas. Lembre-se de ajustar sinais de acordo com o sentido do binário e o eixo escolhido.
  • Caso B: Se um dos apoios é engaste (oferece momento de reação), então parte ou todo o binário pode ser absorvido pelo momento de reação no engaste e as forças D_y,E_y podem ser zero, depende da geometria e das condições. Nesse caso você inclui M_D ou M_E como incógnita adicional e usa \sum M para resolvê‑la.
  • Caso C: Se os apoios não estão alinhados (por exemplo, appios em diferentes alturas), as contribuições em \sum M vão envolver tanto E_x quanto E_y multiplicados pelos seus braços. Use coordenadas vetoriais para calcular os momentos das forças: para uma força \mathbf{F}=(F_x,F_y) aplicada em \mathbf{r}=(x,y) relativo a um ponto de referência, o momento escalar resultante é M = x F_y - y F_x. Este é um ponto que eu recomendo decorar e treinar: o momento de \mathbf{F} relativo à origem é dado por xF_y - yF_x.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (APENAS como demonstração do procedimento, não estou inventando a figura do seu exercício): suponha que D e E estão sobre o mesmo eixo horizontal separados por L e que ambos só reagem verticalmente ( D_y e E_y). Combinando \sum F_y=0 e \sum M_D=0 (tomando momentos em D) obtemos
D_y + E_y = 0
E_y\cdot L - M_B = 0 \quad\Rightarrow\quad E_y = \frac{M_B}{L},\quad D_y = -\frac{M_B}{L}.
Perceba que aqui o sinal de D_y é oposto ao de E_y: isso faz sentido porque um binário é equilibrado por um par de forças opostas. Se M_B=150\\ \mathrm{N\cdot m} e L fosse, digamos, 3\\ \mathrm{m}, então E_y=50\\ \mathrm{N} e D_y=-50\\ \mathrm{N}. Mas atenção: este cálculo só vale se as hipóteses do exemplo (apoios apenas verticais, alinhamento horizontal, etc.) forem válidas no seu problema real.

Passo 7

Resumo prático — checklist que você usa na prova assim que tiver a figura:
  1. Identifique tipos de apoios em D e E e escreva as incógnitas.
  2. Desenhe o DCL incluindo \,M_B=150\\ \mathrm{N\cdot m}. Ajuste o sinal do momento conforme sua convenção.
  3. Escreva \sum F_x=0 e \sum F_y=0.
  4. Escreva \sum M em um ponto conveniente (frequentemente em D ou E) para eliminar incógnitas e resolver as restantes. Use a fórmula do momento de uma força: M = xF_y - yF_x quando trabalhar com coordenadas.
  5. Resolva o sistema linear obtido para as incógnitas. Verifique sinais e faça sentido físico: reações opostas quando não há forças externas verticais, etc.

Resposta

Não é possível determinar numericamente as componentes das reações em D e E porque a figura da estrutura e dados geométricos essenciais não foram fornecidos (tipo de apoios em D e E, posições/ distâncias entre B,D,E, e se há outros carregamentos). Para obter as reações é preciso, no mínimo, fornecer: a) tipo de apoio em D e em E; b) coordenadas ou distâncias entre D, E e B; c) confirmação de que não há outras cargas.

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