(AMA 2023) Onofre pretende passar o próximo final de semana em seu rancho, localizado em uma ilha de sua cidade. Para chegar a essa ilha, a partir de sua casa, Onofre dispõe de 5 linhas de ônibus, com trajetos diferentes, que levam até o porto da cidade, e de 1 balsa, que parte desse porto até o cais da ilha. A partir desse cais, são disponibilizadas 3 linhas de micro-ônibus, com diferentes percursos, que levam até o rancho de Onofre. Quantos caminhos diferentes Onofre pode percorrer de sua casa até esse rancho, escolhendo 1 linha de ônibus, 1 balsa e 1 linha de micro-ônibus?
A) 3 .
B) 5 .
C) 9 .
D) 15 .
E) 18 .
A) 3 .
B) 5 .
C) 9 .
D) 15 .
E) 18 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa simples:
- Há
linhas de ônibus diferentes disponíveis para ir de casa ao porto. - Há
balsa que sai desse porto até o cais da ilha. - Há
linhas de micro-ônibus diferentes do cais até o rancho.
O enunciado pergunta: quantos caminhos diferentes Onofre pode percorrer da sua casa até o rancho, escolhendo exatamente uma linha de ônibus, uma balsa e uma linha de micro-ônibus?
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): quando uma escolha é feita em etapas independentes (primeiro escolhe-se uma coisa, depois outra, etc.), o número total de combinações possíveis é o produto do número de opções em cada etapa. Intuição: se em uma etapa A há
opções e em seguida, para cada opção de A, na etapa B há
opções, então escrevendo todas as possibilidades obteremos
grupos com
elementos cada, totalizando
. Isso se estende para mais etapas multiplicando todas as quantidades.
Passo 3
Formalizando para este problema: defina as quantidades
-
= número de linhas de ônibus . -
= número de balsas . -
= número de linhas de micro-ônibus .
Pelo princípio do produto (explicado no Passo 2), o número total de caminhos possíveis é
Aqui cada escolha de ônibus pode ser combinada com cada escolha de balsa e com cada escolha de micro-ônibus.
Passo 4
Substituindo os valores conhecidos em
:
Passo 5
Calculando passo a passo (para ficar bem claro e aplicável na prova):
- Primeiro
. Isso significa que escolher a balsa (apenas opção) não altera o número de possibilidades vindas do ônibus: cada uma das linhas de ônibus continua dando ramo. - Em seguida
. Ou seja, para cada uma das combinações ônibus+balsa existem micro-ônibus possíveis, totalizando caminhos.
Passo 6
Verificação por analogia (ajuda a fixar a ideia): se houvesse
camisas e
calças, o número de conjuntos camisa+calça seria
. A lógica é exatamente a mesma do problema do Onofre: multiplicar as opções de cada etapa.
Passo 7
Conclusão: o número total de caminhos diferentes que Onofre pode percorrer é
.
Resposta
D)