(AMA 2023) Paola é proprietária de uma empresa que produz convites de casamento personalizados. Para encomendar um desses convites, o cliente precisa escolher um dos 6 modelos de convite, uma das 20 cores e uma das 16 fontes de texto disponíveis. Quantas opções diferentes de convites de casamento podem ser confeccionadas na empresa de Paola?
A) 6 .
B) 20 .
C) 42 .
D) 326 .
E) 1920 .

Passo 1

O enunciado pede quantas combinações diferentes de convites podem ser feitas. As informações dadas são:
  • \;6\; modelos de convite;
  • \;20\; cores disponíveis;
  • \;16\; fontes de texto.
As perguntas implícitas são: de quantas maneiras diferentes pode-se escolher um modelo, uma cor e uma fonte para formar um convite?

Passo 2

Vamos usar um princípio básico de contagem: a Regra do Produto. Ela diz o seguinte:
  • Se uma tarefa é composta de duas etapas independentes, e a primeira pode ser feita de \;a\; maneiras e a segunda de \;b\; maneiras, então as duas etapas juntas podem ser feitas de \;a\cdot b\; maneiras.
  • Esse raciocínio estende-se a mais etapas: para três etapas com \;a, \;b, \;c opções respectivamente, o total é \;a\cdot b\cdot c\;.
Aqui cada escolha (modelo, cor, fonte) é uma etapa independente: a escolha do modelo não limita as cores nem as fontes, etc. Então podemos aplicar a Regra do Produto.

Passo 3

Identificando as quantidades com as letras da regra:
  • \;a = 6\; (número de modelos),
  • \;b = 20\; (número de cores),
  • \;c = 16\; (número de fontes).
Pelo princípio do produto, o número total de convites possíveis é
\;a\cdot b\cdot c = 6\cdot 20\cdot 16.

Passo 4

Vamos calcular passo a passo sem calculadora. Primeiro multiplicamos \;6\cdot 20\;:
6\cdot 20 = 120.
Agora multiplicamos \;120\cdot 16\;. Faço isso usando decomposição:
120\cdot 16 = 120\cdot(10+6) = 120\cdot 10 + 120\cdot 6.
Calcule cada parcela:
120\cdot 10 = 1200, \qquad 120\cdot 6 = 720.
Somando:
1200 + 720 = 1920.

Passo 5

Confirmação por outro caminho (checagem): calcular \;6\cdot16\; primeiro e depois multiplicar por \;20:
6\cdot 16 = 96, \qquad 96\cdot 20 = 96\cdot(2\cdot 10)=192\cdot 10 = 1920.
Obtemos o mesmo resultado, portanto o cálculo está consistente.

Passo 6

Interpretação final: existem \;1920\; convites distintos que podem ser confeccionados combinando-se um modelo, uma cor e uma fonte.

Resposta

1920

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