Uma amostra aleatória de 200 livros de uma biblioteca revelou que 15 \% deles tinha pelo menos uma página danificada. Obtenha um intervalo com 95 \% de confiança para a proporção de livros danificados na biblioteca. Explique neste caso o significado do termo “95% de confiança”.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória de n=200 livros, em que a proporção amostral de livros com pelo menos uma página danificada é
\hat p = 0,15.
O objetivo é obter um intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira p de livros danificados na biblioteca, usando a aproximação normal para proporções.

Passo 2

Verificamos as condições de uso da aproximação normal:
n\hat p = 200 \times 0,15 = 30 \ge 10, \quad n(1-\hat p) = 200 \times 0,85 = 170 \ge 10,
logo podemos usar a fórmula do intervalo de confiança
\hat p \pm z_{\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}},
em que, para 95\% de confiança, z_{\alpha/2}=1,96.

Passo 3

Calculamos o erro-padrão da proporção amostral:
\mathrm{SE} =\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} =\sqrt{\frac{0,15\,(1-0,15)}{200}} =\sqrt{\frac{0,1275}{200}} \approx 0,0252.
O erro máximo tolerado (margem de erro) é
E = 1,96 \times 0,0252 \approx 0,0494.

Passo 4

O intervalo de confiança fica
\hat p - E = 0,15 - 0,0494 \approx 0,1006, \quad \hat p + E = 0,15 + 0,0494 \approx 0,1994.
Arredondando, obtemos
[0,101;\;0,199].

Passo 5

O termo “ 95\% de confiança” significa que, se repetíssemos esse processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo de confiança usando sempre o mesmo método, cerca de 95\% desses intervalos conteriam de fato a verdadeira proporção p de livros danificados na biblioteca.

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para a proporção de livros danificados é aproximadamente
[0,101;\;0,199].
Isto é, estamos 95\% confiantes de que a proporção verdadeira p se encontra entre 10{,}1\% e 19{,}9\%.

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