Uma amostra de cristais de \mathrm{KCl}\left(1,984 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\right), advindas de um catalisador, apresentou a análise granulométrica informada na Tabela 1.
Table 1: Tabela 1. Análise granulométrica de cristais de KCI.
\captionsetup{labelformat=empty}
Peneiras -Di ( \mu \mathrm{m} ) +Dj ( \mu \mathrm{m} ) Massa retida (g)
+10 2000 1,5
-10+12 2000 1680 2,0
-12+14 1680 1410 4,5
-14+16 1410 1190 5,0
-16+18 1190 1000 6,5
-18+20 1000 841 6,5
-20+25 841 707 6,5
-25+30 707 595 5,0
-30+35 595 500 4,0
-35+40 500 420 3,0
-40+45 420 354 2,5
-45+50 354 297 1,0
(a) Determine o número de partículas da amostra e a área específica, considerando que os cristais são cubos perfeitos;
(b) O diâmetro médio superficial e o diâmetro de Sauter.

Passo 1

O enunciado dá a análise granulométrica de uma amostra de KCl de densidade \rho=1,984\text{ g/cm}^3 (ou seja \rho=1,984\times10^{-12}\text{ g/\mum}^3), com massas retidas m_i em cada faixa de diâmetro entre \mathrm{D}_{i} e \mathrm{D}_{j}. Pede-se:
– o número total de partículas N e a área específica total A_{\text{esp}}, supondo cristais como cubos de aresta igual a um diâmetro representativo d_i de cada classe;
– o diâmetro médio superficial D_{2,1} e o diâmetro de Sauter D_{3,2}.

Passo 2

Definimos para cada classe i:
– o diâmetro médio d_i=(D_i+D_j)/2 em μm (para a classe “ +10” usamos d_1=2000 μm como aproximação);
– o volume de um cubo V_i=d_i^3;
– a massa de uma partícula m_{p,i}=\rho\,V_i;
– o número de partículas na classe
n_i=\frac{m_i}{m_{p,i}} =\frac{m_i}{\rho\,d_i^3}\,.
Com isso, o número total é
N=\sum_i n_i\,.

Passo 3

Somando as 12 classes da tabela com os d_i e m_i dados, obtemos numericamente
N=\sum_{i=1}^{12}n_i\approx8{,}92\times10^4\text{ partículas.}í

Passo 4

A área de superfície de um cubo de aresta d_i é 6d_i^2. Logo a área total da amostra é
A=\sum_{i=1}^{12}n_i\,(6\,d_i^2)\quad(\mu\text{m}^2)\,,
que numérico dá
A\approx1{,}83\times10^{11}\\ \mu\text{m}^2 =1{,}83\times10^{-1}\\ \text{m}^2.
A área específica por grama de amostra m_{\text{tot}}=48\text{ g} é
A_{\text{esp}} =\frac{A}{m_{\text{tot}}} \approx\frac{0{,}183\\ \text{m}^2}{48\\ \text{g}} \approx3{,}81\times10^{-3}\\ \text{m}^2/\text{g}.

Passo 5

O diâmetro médio superficial D_{2,1} (ou momento de ordem 2 sobre 1) é
D_{2,1} =\frac{\sum_i n_i\,d_i^2}{\sum_i n_i\,d_i} \approx\frac{3{,}0488\times10^{10}}{4{,}8029\times10^{7}} \approx635\\ \mu\text{m}.

Passo 6

O diâmetro de Sauter D_{3,2} (momento de ordem 3 sobre 2) é
D_{3,2} =\frac{\sum_i n_i\,d_i^3}{\sum_i n_i\,d_i^2} \approx\frac{2{,}4044\times10^{13}}{3{,}0488\times10^{10}} \approx789\\ \mu\text{m}.

Resposta

Número de partículas: N\approx8{,}92\times10^4.
Área específica: A_{\text{esp}}\approx3{,}81\times10^{-3}\\ \text{m}^2/\text{g}.
Diâmetro médio superficial: D_{2,1}\approx635\\ \mu\text{m}.
Diâmetro de Sauter: D_{3,2}\approx789\\ \mu\text{m}.

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