Uma amostra de solo arenoso possui um coeficiente de permeabilidade (k) de 0,05 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. A amostra tem uma seção transversal (A) de 100 \mathrm{~cm}^{2} e um comprimento (L) de 20 cm . Se a diferença de nível d’água ( \Delta \mathrm{h} ) entre as extremidades da amostra é de 10 cm , qual é a vazão de água através do solo em \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a vazão de água através da amostra de solo em \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
\;k=0,05\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s} (coeficiente de permeabilidade),
\;A=100\\ \mathrm{cm}^{2} (área da seção transversal),
\;L=20\\ \mathrm{cm} (comprimento da amostra),
\;\Delta h=10\\ \mathrm{cm} (diferença de nível de água entre as extremidades).

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê — explicação didática: Darcy e o gradiente hidráulico.
A lei de Darcy relaciona a vazão volumétrica (Q) que atravessa um meio poroso com a permeabilidade do solo, a área e o gradiente hidráulico. A fórmula é
Q = k\,A\,\frac{\Delta h}{L}.
Explicando cada termo:
  • \;Q é a vazão volumétrica que queremos (unidade: \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s});
  • \;k é o coeficiente de permeabilidade do material (unidade: \mathrm{cm}/\mathrm{s});
  • \;A é a área da seção transversal pela qual a água passa (unidade: \mathrm{cm}^{2});
  • \;\Delta h é a diferença de carga hidráulica (a diferença de nível d’água) entre as extremidades (unidade: \mathrm{cm});
  • \;L é o comprimento da amostra (distância entre as extremidades, unidade: \mathrm{cm}).
    O quociente \Delta h / L é chamado de gradiente hidráulico (adimensional aqui, pois ambas as grandezas estão em \mathrm{cm}).

Passo 3

Calcular o gradiente hidráulico.
Usamos os valores dados:
\frac{\Delta h}{L}=\frac{10\\ \mathrm{cm}}{20\\ \mathrm{cm}}=0,5.
Esse valor significa que a carga hidráulica diminui metade do valor por unidade da amostra — é o “motor” que faz a água fluir.

Passo 4

Substituir os valores na lei de Darcy e efetuar as contas passo a passo.
Escrevo a fórmula novamente e plugo os números:
Q = k\,A\,\frac{\Delta h}{L} = 0,05\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}\times 100\\ \mathrm{cm}^{2}\times 0,5.
Calcule por etapas:
100\times 0,5 = 50,
0,05\times 50 = 2,5.
Portanto
Q = 2,5\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}.

Passo 5

Checagem de unidades e interpretação rápida.
Unidades: \mathrm{cm}/\mathrm{s}\times \mathrm{cm}^{2} = \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}, que é justamente a unidade de vazão volumétrica pedida. O resultado significa que a água atravessa a amostra com fluxo de \,2,5\\ \mathrm{cm}^{3} a cada segundo — é um valor razoável para solo arenoso com k da ordem de 10^{-2}\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}.

Resposta

2,5\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}

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