Uma camada de silte possui um coeficiente de permeabilidade de 1 \times 10^{-5} \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Deseja-se que uma vazão de 0,1 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} atravesse uma área de 50 \mathrm{~cm}^{2} desta camada de silte. Se o fluxo ocorre ao longo de um comprimento de 30 cm , qual deve ser a diferença de nível d’água para que essa vazão seja alcançada?

Passo 1

O enunciado pede: qual deve ser a diferença de nível d’água para que uma vazão atravesse a camada de silte nas condições dadas? \n
Dados fornecidos:
k = 1\times 10^{-5}\\ \mathrm{cm/s}
Q = 0,1\\ \mathrm{cm^{3}/s}
A = 50\\ \mathrm{cm^{2}}
L = 30\\ \mathrm{cm}

Passo 2

A relação física apropriada para escoamento de água através de um solo saturado em regime laminar é a lei de Darcy. A fórmula básica é:
Q = k\,A\,\frac{\Delta h}{L}
Explicando cada símbolo de forma bem prática:
Q
é a vazão volumétrica (a quantidade de água por unidade de tempo); k
é o coeficiente de permeabilidade (também chamado de condutividade hidráulica) que mede quão fácil a água atravessa o solo; A
é a área da seção transversal pela qual a água passa; \Delta h
é a diferença de nível d’água (o que queremos achar); L
é o comprimento do caminho do escoamento (a distância ao longo da qual ocorre a queda de carga). A fórmula diz que a vazão é proporcional ao produto da condutividade pela área e pelo gradiente hidráulico \Delta h / L.

Passo 3

Isolamos \Delta h na fórmula de Darcy para calcular a diferença de nível necessária:
\Delta h = \frac{Q\,L}{k\,A}
Isto é só álgebra básica: multiplicamos ambos os lados por L e dividimos por kA.

Passo 4

Antes de calcular, verificamos as unidades para garantir que tudo bate: \frac{(\mathrm{cm^{3}/s})\cdot(\mathrm{cm})}{(\mathrm{cm/s})\cdot(\mathrm{cm^{2}})}=\mathrm{cm},
ou seja, o resultado ficará em centímetros — bom, consistente. Agora substituímos os números:
kA = \left(1\times 10^{-5}\right)\cdot 50 = 5\times 10^{-4}.
Q L = 0,1\cdot 30 = 3.
Portanto
\Delta h = \frac{3}{5\times 10^{-4}} = \frac{3}{0,0005} = 6000\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Convertendo para metros (às vezes é mais intuitivo):
6000\\ \mathrm{cm} = 6000\div 100 = 60\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida e encorajamento: esse valor é muito grande porque \,k é muito pequeno (silte pouco permeável). Em provas, é comum obter cabeças elevadas quando k é muito baixo — isso só diz que, com esse material, é preciso uma diferença de nível enorme para obter essa vazão. Você fez tudo certo seguindo Darcy.

Resposta

\Delta h = 6000\\ \mathrm{cm} = 60\\ \mathrm{m}

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