Durante um ensaio de permeabilidade em laboratório, observou-se que uma vazão de 0,002 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} atravessa uma amostra de argila compactada. A amostra tem um diâmetro de 15 cm e um comprimento de 10 cm . A perda de carga hidráulica ( \Delta \mathrm{h} ) medida foi de 2,5 \mathrm{~m}. Qual é o coeficiente de permeabilidade desta argila em \mathrm{m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o coeficiente de permeabilidade:
\begin{aligned} &\text{Vazão: }Q = 0,002\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},\\\ &\text{diâmetro da amostra: }d = 0,15\\ \mathrm{m},\\\ &\text{comprimento da amostra: }L = 0,10\\ \mathrm{m},\\\ &\text{perda de carga (diferença de carga hidráulica): }\Delta h = 2,5\\ \mathrm{m}. \end{aligned}ãâçá
O que nos pedem: determinar o coeficiente de permeabilidade k em \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 2

Vamos usar a lei de Darcy (fórmula básica para escoamento laminar em meios porosos). A lei de Darcy diz:
Q = k \, A \, i,
onde
i=\frac{\Delta h}{L}
é o gradiente hidráulico (adimensional), A é a área da seção transversal da amostra em \mathrm{m}^2, Q é a vazão em \mathrm{m}^3/\mathrm{s} e k é o coeficiente de permeabilidade em \mathrm{m}/\mathrm{s}. Rearranjando para k obtemos:
k = \frac{Q}{A\,i}.
Explicando de forma bem simples: a vazão Q é proporcional à área disponível A e ao “força” que empurra a água (o gradiente i); a constante de proporcionalidade é k.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal A. A amostra é cilíndrica com diâmetro d, então o raio é
r = \frac{d}{2} = \frac{0,15}{2} = 0,075\\ \mathrm{m}.
A área de um círculo é A=\pi r^{2}. Portanto:
r^{2} = (0,075)^{2} = 0,005625\\ \mathrm{m}^2,
A = \pi \cdot 0,005625 \approx 0,0176715\\ \mathrm{m}^2.
(Arredondei a área para seis casas significativas para manter precisão nas contas seguintes.)

Passo 4

Calcular o gradiente hidráulico i:
i = \frac{\Delta h}{L} = \frac{2,5}{0,10} = 25.
Ou seja, a perda de carga é muito grande em relação ao comprimento da amostra, resultando em i=25.

Passo 5

Substituir na fórmula de k. Usando k = \dfrac{Q}{A\,i} temos a expressão numérica:
k = \frac{0,002}{0,0176715 \cdot 25}.

Passo 6

Calcular o denominador e preparar a divisão:
0,0176715 \cdot 25 = 0,4417875.
Portanto a expressão fica
k = \frac{0,002}{0,4417875}.

Passo 7

Fazer a divisão para obter k (unidades em \mathrm{m}/\mathrm{s}). Não esqueça: todas as etapas anteriores são necessárias para chegar ao valor numérico final de k.

Resposta

0,00453\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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