Uma amostra de solo saturado, em seu estado natural pesou 19,05 \mathrm{~g} e depois de seca, 14,40 \mathrm{~g}. Uma parte do solo seco destorroado, pesando 10,50 \mathrm{~g} foi usada na determinação da massa específica dos grãos apresentando:
  • Massa do balão volumétrico com solo e água =96,91 \mathrm{~g} (M2)
  • Massa do balão volumétrico e água (à mesma temperatura) =90,30 \mathrm{~g}. (M3)
Considerando a massa especifica da água igual a 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} à temperatura do ensaio, determine:
a) Massa específica dos grãos;
b) Índice de vazios;
c) Teor de umidade.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Massa da amostra saturada (úmida) em estado natural: m_{\text{úmida}} = 19{,}05\\ \mathrm{g}ú.
  • Massa da amostra depois de seca: m_{\text{seca}} = 14{,}40\\ \mathrm{g}.
  • Porção do solo seco usada no balão volumétrico (pycnômetro): M_s = 10{,}50\\ \mathrm{g}. (essa é a massa dos grãos secos usados no ensaio de massa específica)
  • Massa do balão volumétrico com solo e água: M_2 = 96{,}91\\ \mathrm{g}.
  • Massa do balão volumétrico com água (mesma temperatura): M_3 = 90{,}30\\ \mathrm{g}.
  • Massa específica da água (densidade da água) usada: \rho_w = 1{,}00\\ \mathrm{g/cm^3}.
O enunciado pede:
a) massa específica dos grãos (ou seja, a densidade dos sólidos \rho_s, e comumente o valor adimensional G_s=\rho_s/\rho_w);
b) índice de vazios e;
c) teor de umidade w (em porcentagem).

Passo 2

Entender o ensaio do balão volumétrico (pycnômetro) e deduzir a fórmula que vamos usar.
Ideia física simples: ao colocar uma massa de grãos secos M_s dentro do balão cheio de água, parte da água é deslocada pelo volume dos grãos. A diferença entre as massas medidas com e sem os grãos permite obter o volume ocupado pelos grãos.
Definindo M_p = massa do balão vazio (não precisamos do seu valor porque ele se cancelará), V_p = volume interno do balão, V_s = volume dos grãos e \rho_w = densidade da água, temos duas situações medidas:
  • balão cheio só com água: massa M_3 = M_p + \rho_w V_p.
  • balão com os grãos e o restante água: massa M_2 = M_p + M_s + \rho_w (V_p - V_s).
Subtraindo as duas equações:
M_3 - M_2 = -M_s + \rho_w V_s.
Isolando V_s:
\rho_w V_s = M_3 - M_2 + M_s,
V_s = \dfrac{M_3 - M_2 + M_s}{\rho_w}.
A densidade dos grãos (massa específica dos grãos) é \rho_s = \dfrac{M_s}{V_s}. Substituindo V_s e simplificando:
\rho_s = \dfrac{M_s}{\dfrac{M_3 - M_2 + M_s}{\rho_w}} = \dfrac{M_s\,\rho_w}{M_3 - M_2 + M_s}.
Como \rho_w = 1{,}00\\ \mathrm{g/cm^3}, numericamente \rho_s = \dfrac{M_s}{M_3 - M_2 + M_s} (em \mathrm{g/cm^3}). O adimensional G_s é \displaystyle G_s=\frac{\rho_s}{\rho_w}=\frac{M_s}{M_3-M_2+M_s}.

Passo 3

Cálculo da massa específica dos grãos (parte a).
Calcular o denominador:
M_3 - M_2 + M_s = 90{,}30 - 96{,}91 + 10{,}50 = 3{,}89\\ \mathrm{g}.
Agora \rho_s e G_s:
\rho_s = \dfrac{M_s\,\rho_w}{M_3 - M_2 + M_s} = \dfrac{10{,}50 \times 1{,}00}{3{,}89} \\ \mathrm{g/cm^3} \approx 2{,}699\\ \mathrm{g/cm^3}.
Como \rho_w=1{,}00\\ \mathrm{g/cm^3}, o valor adimensional é
G_s = \dfrac{\rho_s}{\rho_w} \approx 2{,}699.

Passo 4

Cálculo do teor de umidade w (parte c), já que é direto e usaremos isso em seguida para o índice de vazios.
Definição do teor de umidade (em forma decimal):
w = \dfrac{\text{massa de água}}{\text{massa de sólidos}}.áó
A massa de água presente na amostra natural é
W = m_{\text{úmida}} - m_{\text{seca}} = 19{,}05 - 14{,}40 = 4{,}65\\ \mathrm{g}.ú
A massa de sólidos é m_{\text{seca}} = 14{,}40\\ \mathrm{g}. Logo
w = \dfrac{4{,}65}{14{,}40} \approx 0{,}3229.
Em porcentagem:
w \approx 32{,}29\%.

Passo 5

Cálculo do índice de vazios e (parte b). Como a amostra está saturada (no enunciado: “solo saturado, em seu estado natural”), todo o volume de vazios é ocupado por água; portanto podemos relacionar volumes com massas de água.
Definições:
  • volume de vazios: V_v = \dfrac{\text{massa de água}}{\rho_w} = \dfrac{W}{\rho_w}á.
  • volume sólido: V_s = \dfrac{\text{massa de sólidos}}{\rho_s} = \dfrac{m_{\text{seca}}}{\rho_s}ó.
Índice de vazios:
e = \dfrac{V_v}{V_s} = \dfrac{W/\rho_w}{m_{\text{seca}}/\rho_s} = \dfrac{W\,\rho_s}{m_{\text{seca}}\,\rho_w}.
Usando \rho_s = G_s \rho_w a expressão simplifica para
e = G_s \dfrac{W}{m_{\text{seca}}}.
Substituindo números:
e \approx 2{,}699 \times \dfrac{4{,}65}{14{,}40}.
Já calculamos \dfrac{4{,}65}{14{,}40} \approx 0{,}3229, então
e \approx 2{,}699 \times 0{,}3229 \approx 0{,}872.

Passo 6

Resumo numérico (arredondamentos razoáveis) e interpretação breve:
  • Massa específica dos grãos (densidade dos sólidos): \rho_s \approx 2{,}699\\ \mathrm{g/cm^3} (portanto G_s \approx 2{,}699).
  • Índice de vazios: e \approx 0{,}872.
  • Teor de umidade: w \approx 32{,}29\%.

Resposta

(a) \rho_s \approx 2{,}699\\ \mathrm{g/cm^3} (ou G_s \approx 2{,}699)
(b) e \approx 0{,}872
(c) w \approx 32{,}29\%

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