Determine a intensidade, a direção e o sentido da força
\mathbf{F}=(320 \mathrm{~N}) \mathbf{i}+(400 \mathrm{~N}) \mathrm{j}-(250 \mathrm{~N}) \mathrm{k}.

Passo 1

O enunciado dá a força pela sua representação cartesiana e pede três coisas: a intensidade (módulo), a direção e o sentido da força. As informações fornecidas são (peguei estes números do enunciado):
  • F_x = 320\\ \mathrm{N}
  • F_y = 400\\ \mathrm{N}
  • F_z = -250\\ \mathrm{N}
As perguntas explícitas a responder são:
  1. Qual a intensidade (magnitude) de \mathbf{F}?
  2. Qual a direção de \mathbf{F} (ou seja, o vetor unitário que indica a direção)?
  3. Qual o sentido de \mathbf{F} (para onde ela aponta, em termos de sinais das componentes ou ângulos)?

Passo 2

Intensidade (magnitude): conceito e fórmula.
A intensidade de um vetor \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) é o seu comprimento no espaço, dado pela fórmula da norma euclidiana:
\|\mathbf{F}\|=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}.
Aqui F_x, F_y e F_z são as componentes do vetor nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}. Vamos calcular passo a passo substituindo os números que pegamos no Passo 1:
F_x^2 = 320^2 = 102\,400,
F_y^2 = 400^2 = 160\,000,
F_z^2 = (-250)^2 = 62\,500.
Somando:
F_x^2+F_y^2+F_z^2 = 102\,400 + 160\,000 + 62\,500 = 324\,900.
Agora a raiz quadrada:
\|\mathbf{F}\|=\sqrt{324\,900}=570.
Portanto a intensidade é 570\\ \mathrm{N}. (Boa notícia: deu um número inteiro, facilita na prova!)

Passo 3

Direção: conceito de vetor unitário e como obter.
A direção de um vetor pode ser representada pelo seu vetor unitário \hat{u}, que é o próprio vetor dividido pela sua magnitude. A definição é:
\hat{u}=\frac{\mathbf{F}}{\|\mathbf{F}\|}.
Isso normaliza o vetor, ou seja, torna-o de comprimento 1 mantendo a direção original. Substituindo:
\hat{u}=\frac{1}{570}\bigl(320\,\mathbf{i}+400\,\mathbf{j}-250\,\mathbf{k}\bigr).
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 10:
\hat{u}=\frac{1}{57}\bigl(32\,\mathbf{i}+40\,\mathbf{j}-25\,\mathbf{k}\bigr).
Em coordenadas (componentes do vetor unitário):
\hat{u}=\left(\dfrac{32}{57},\dfrac{40}{57},-\dfrac{25}{57}\right).
Aproximações decimais (úteis para interpretar):
\hat{u}\approx(0,5614,\;0,7018,\;-0,4386).

Passo 4

Direção: ângulos com os eixos (opcional, mas muito comum em provas).
Os cossenos diretores (cosenos dos ângulos que \mathbf{F} faz com os eixos x,y,z) são exatamente as componentes do vetor unitário:
\cos\alpha = \dfrac{F_x}{\|\mathbf{F}\|}=\dfrac{32}{57},\qquad \cos\beta = \dfrac{F_y}{\|\mathbf{F}\|}=\dfrac{40}{57},\qquad \cos\gamma = \dfrac{F_z}{\|\mathbf{F}\|}=-\dfrac{25}{57}.
Para obter os ângulos em graus, aplica-se arccos a cada um:
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{32}{57}\right)\approx 55,8^\circ,
\beta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{40}{57}\right)\approx 45,6^\circ,
\gamma=\operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{25}{57}\right)\approx 115,6^\circ.
Esses valores mostram a inclinação da força em relação a cada eixo.

Passo 5

Sentido: interpretação do sinal das componentes e do vetor unitário.
O sentido de \mathbf{F} é a orientação ao longo da direção indicada pelo vetor unitário \hat{u}. Aqui as componentes de \hat{u} são positivas em x e y e negativa em z. Isso significa que a força aponta para o sentido positivo do eixo x, para o sentido positivo do eixo y e para o sentido negativo do eixo z. Em palavras simples: a força aponta “para frente/direita/para cima/para baixo” dependendo da escolha de eixos, mas numericamente: aponta da origem em direção ao ponto (320,400,-250), seguindo o vetor unitário \hat{u}.
Força-feeling: você já tem tudo que pedem em prova — magnitude numérica exata, vetor unitário exato (frações) e ângulos aproximados — assim fica fácil justificar qualquer alternativa ou calcular projeções.

Resposta

\|\mathbf{F}\|=570\\ \mathrm{N}
\hat{u}=\dfrac{1}{570}\bigl(320\,\mathbf{i}+400\,\mathbf{j}-250\,\mathbf{k}\bigr)=\dfrac{1}{57}\bigl(32\,\mathbf{i}+40\,\mathbf{j}-25\,\mathbf{k}\bigr)\approx(0,5614,\;0,7018,\;-0,4386)
Sentido: aponta para o sentido positivo dos eixos x e y e para o sentido negativo do eixo z (ou seja, da origem em direção a (320,400,-250), seguindo \hat{u}).

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