Determine a intensidade, a direção e o sentido da força
\mathbf{F}=(320 \mathrm{~N}) \mathbf{i}+(400 \mathrm{~N}) \mathrm{j}-(250 \mathrm{~N}) \mathrm{k}.
\mathbf{F}=(320 \mathrm{~N}) \mathbf{i}+(400 \mathrm{~N}) \mathrm{j}-(250 \mathrm{~N}) \mathrm{k}.
Passo 1
O enunciado dá a força pela sua representação cartesiana e pede três coisas: a intensidade (módulo), a direção e o sentido da força. As informações fornecidas são (peguei estes números do enunciado):
As perguntas explícitas a responder são:
- Qual a intensidade (magnitude) de
? - Qual a direção de
(ou seja, o vetor unitário que indica a direção)? - Qual o sentido de
(para onde ela aponta, em termos de sinais das componentes ou ângulos)?
Passo 2
Intensidade (magnitude): conceito e fórmula.
A intensidade de um vetor é o seu comprimento no espaço, dado pela fórmula da norma euclidiana:
A intensidade de um vetor
Aqui
,
e
são as componentes do vetor nas direções
. Vamos calcular passo a passo substituindo os números que pegamos no Passo 1:
Somando:
Agora a raiz quadrada:
Portanto a intensidade é
. (Boa notícia: deu um número inteiro, facilita na prova!)
Passo 3
Direção: conceito de vetor unitário e como obter.
A direção de um vetor pode ser representada pelo seu vetor unitário , que é o próprio vetor dividido pela sua magnitude. A definição é:
A direção de um vetor pode ser representada pelo seu vetor unitário
Isso normaliza o vetor, ou seja, torna-o de comprimento 1 mantendo a direção original. Substituindo:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Em coordenadas (componentes do vetor unitário):
Aproximações decimais (úteis para interpretar):
Passo 4
Direção: ângulos com os eixos (opcional, mas muito comum em provas).
Os cossenos diretores (cosenos dos ângulos que faz com os eixos
) são exatamente as componentes do vetor unitário:
Os cossenos diretores (cosenos dos ângulos que
Para obter os ângulos em graus, aplica-se arccos a cada um:
Esses valores mostram a inclinação da força em relação a cada eixo.
Passo 5
Sentido: interpretação do sinal das componentes e do vetor unitário.
O sentido de é a orientação ao longo da direção indicada pelo vetor unitário
. Aqui as componentes de
são positivas em
e
e negativa em
. Isso significa que a força aponta para o sentido positivo do eixo
, para o sentido positivo do eixo
e para o sentido negativo do eixo
. Em palavras simples: a força aponta “para frente/direita/para cima/para baixo” dependendo da escolha de eixos, mas numericamente: aponta da origem em direção ao ponto
, seguindo o vetor unitário
.
O sentido de
Força-feeling: você já tem tudo que pedem em prova — magnitude numérica exata, vetor unitário exato (frações) e ângulos aproximados — assim fica fácil justificar qualquer alternativa ou calcular projeções.
Resposta
Sentido: aponta para o sentido positivo dos eixos
e
e para o sentido negativo do eixo
(ou seja, da origem em direção a
, seguindo
).