As amostras A, B, C e D foram coletadas por meio da cravação de cilindros de aço cujo volume era de 1000 \mathrm{cm}^{3} e o peso de 100 g , com paredes suficientemente finas para não alterar o volume original do solo. Tomouse toda precaução para preservar a umidade da amostra dentro dos cilindros. Depois foi retirado o corpo de prova, o mesmo foi seco em estufa a 110^{\circ} \mathrm{C} até constância de peso. Obtiveram os seguintes resultados:
Amostra A B C D
Massa total amostra + cilindro (\mathrm{g}) 1520 2050 1450 2030
Massa amostra seca + cilindro (\mathrm{g}) 1210 1640 665 1720
Admitindo-se que a massa específica dos sólidos é 2,65 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} determine para as quatro amostras:
a) a massa específica do solo,
b) o teor de umidade (gravimétrica),
c) a massa específica aparente seca,
d) índice de vazios,
e) o grau de saturação.

Passo 1

O enunciado fornece as massas totais (amostra + cilindro) na condição úmida e na condição seca, o volume do cilindro e a massa do cilindro. Pergunta para cada amostra A, B, C e D os itens (a) a (e). Dados extraídos da tabela do enunciado e dos parâmetros do problema:
\begin{aligned} &\text{Volume do cilindro: }V = 1000\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &\text{Massa do cilindro: }m_{c}=100\\ \mathrm{g},\\\ &\text{Massa total (amostra+cil.) úmida: }m_{t,\text{úmida}}\\\ &\text{Massa total (amostra+cil.) seca: }m_{t,\text{seca}},\\\ &\text{Massa específica dos sólidos: }G_{s}=2{,}65\\ \mathrm{g/cm}^3. \end{aligned}úúíó
Dados numéricos (peguei da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c|c} \text{Amostra} & m_{t,\text{úmida}}(\mathrm{g}) & m_{t,\text{seca}}(\mathrm{g})\\hline A & 1520 & 1210\\\ B & 2050 & 1640\\\ C & 1450 & 665\\\ D & 2030 & 1720 \end{array}ú
Perguntas que o enunciado faz (cada letra será calculada para as quatro amostras):
(a) a massa específica do solo (densidade aparente úmida),
(b) o teor de umidade gravimétrico (teor em massa),
(c) a massa específica aparente seca (densidade seca),
(d) o índice de vazios e,
(e) o grau de saturação S_r.

Passo 2

Transformar os dados brutos em quantidades úteis: massa úmida da amostra (m_w), massa seca da amostra (m_s) e massa de água (m_\mathrm{água})á.
Fórmulas e explicação rápida:
\begin{aligned} &m_w = m_{t,\text{úmida}} - m_c,\\\ &m_s = m_{t,\text{seca}} - m_c,\\\ &m_{\mathrm{água}} = m_w - m_s. \end{aligned}úá
Calculemos para cada amostra (faço as contas e escrevo o resultado):
\begin{aligned} &\text{A: } m_w=1520-100=1420\\ \mathrm{g},\quad m_s=1210-100=1110\\ \mathrm{g},\\\ &\quad m_{\mathrm{água}}=1420-1110=310\\ \mathrm{g}.\\[4pt] &\text{B: } m_w=2050-100=1950\\ \mathrm{g},\quad m_s=1640-100=1540\\ \mathrm{g},\\\ &\quad m_{\mathrm{água}}=1950-1540=410\\ \mathrm{g}.\\[4pt] &\text{C: } m_w=1450-100=1350\\ \mathrm{g},\quad m_s=665-100=565\\ \mathrm{g},\\\ &\quad m_{\mathrm{água}}=1350-565=785\\ \mathrm{g}.\\[4pt] &\text{D: } m_w=2030-100=1930\\ \mathrm{g},\quad m_s=1720-100=1620\\ \mathrm{g},\\\ &\quad m_{\mathrm{água}}=1930-1620=310\\ \mathrm{g}. \end{aligned}áááá]

Passo 3

(a) Massa específica do solo (densidade aparente úmida).
Definição e fórmula: a massa específica aparente úmida \rho é a massa total úmida da amostra dividida pelo volume total do exemplar:
\rho=\frac{m_w}{V}.
Como V=1000\\ \mathrm{cm}^3, basta dividir por 1000. Resultados:
\begin{aligned} &\rho_A=\frac{1420}{1000}=1{,}420\\ \mathrm{g/cm}^3,\\\ &\rho_B=\frac{1950}{1000}=1{,}950\\ \mathrm{g/cm}^3,\\\ &\rho_C=\frac{1350}{1000}=1{,}350\\ \mathrm{g/cm}^3,\\\ &\rho_D=\frac{1930}{1000}=1{,}930\\ \mathrm{g/cm}^3. \end{aligned}

Passo 4

(b) Teor de umidade (gravimétrico) w.
Definição e fórmula: o teor de umidade gravimétrico w (fração) é a razão entre a massa da água e a massa seca dos sólidos:
w=\frac{m_{\mathrm{água}}}{m_s}.á
Multiplico por 100\% para obter percentagem. Calculando:
\begin{aligned} &w_A=\frac{310}{1110}=0{,}279279\ldots=27{,}93\%,\\\ &w_B=\frac{410}{1540}=0{,}266234\ldots=26{,}62\%,\\\ &w_C=\frac{785}{565}=1{,}389381\ldots=138{,}94\%,\\\ &w_D=\frac{310}{1620}=0{,}191358\ldots=19{,}14\%. \end{aligned}
Pequeno comentário didático: valores de w maiores que 100\% (como em C) significam que a massa da água excede a massa dos sólidos — solo muito encharcado ou com grande quantidade de finos.

Passo 5

(c) Massa específica aparente seca \rho_d.
Definição e fórmula: densidade seca \rho_d é a massa seca dos sólidos dividida pelo volume total:
\rho_d=\frac{m_s}{V}.
Com V=1000\\ \mathrm{cm}^3 temos:
\begin{aligned} &\rho_{d,A}=\frac{1110}{1000}=1{,}110\\ \mathrm{g/cm}^3,\\\ &\rho_{d,B}=\frac{1540}{1000}=1{,}540\\ \mathrm{g/cm}^3,\\\ &\rho_{d,C}=\frac{565}{1000}=0{,}565\\ \mathrm{g/cm}^3,\\\ &\rho_{d,D}=\frac{1620}{1000}=1{,}620\\ \mathrm{g/cm}^3. \end{aligned}

Passo 6

Preparação para (d) e (e): calcular volumes dos sólidos (V_s), volumes de vazios (V_v) e volume de água (V_w).
Explicação: a massa específica dos sólidos G_s (em \mathrm{g/cm}^3) relaciona massa seca e volume de sólidos:
V_s=\frac{m_s}{G_s}.
O volume total é V, logo o volume de vazios é
V_v=V-V_s.
A massa da água em gramas corresponde numericamente ao volume de água em \mathrm{cm}^3 (adotando \rho_{\mathrm{água}}=1\\ \mathrm{g/cm}^3á), portanto
V_w=m_{\mathrm{água}}\\ \mathrm{cm}^3.á
Calculemos os valores:
\begin{aligned} &V_{s,A}=\frac{1110}{2{,}65}=418{,}8679245\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &V_{v,A}=1000-418{,}8679245=581{,}1320755\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &V_{w,A}=310\\ \mathrm{cm}^3. \end{aligned}
\begin{aligned} &V_{s,B}=\frac{1540}{2{,}65}=581{,}1320755\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &V_{v,B}=1000-581{,}1320755=418{,}8679245\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &V_{w,B}=410\\ \mathrm{cm}^3. \end{aligned}
\begin{aligned} &V_{s,C}=\frac{565}{2{,}65}=213{,}2075472\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &V_{v,C}=1000-213{,}2075472=786{,}7924528\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &V_{w,C}=785\\ \mathrm{cm}^3. \end{aligned}
\begin{aligned} &V_{s,D}=\frac{1620}{2{,}65}=611{,}3207547\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &V_{v,D}=1000-611{,}3207547=388{,}6792453\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &V_{w,D}=310\\ \mathrm{cm}^3. \end{aligned}

Passo 7

(d) Índice de vazios e.
Definição e fórmula: e é a razão entre volume de vazios e volume de sólidos:
e=\frac{V_v}{V_s}.
Calculando com os volumes já obtidos:
\begin{aligned} &e_A=\frac{581{,}1320755}{418{,}8679245}=1{,}387387\ldots,\\\ &e_B=\frac{418{,}8679245}{581{,}1320755}=0{,}720779\ldots,\\\ &e_C=\frac{786{,}7924528}{213{,}2075472}=3{,}689381\ldots,\\\ &e_D=\frac{388{,}6792453}{611{,}3207547}=0{,}635802\ldots. \end{aligned}
Comentário prático: uma forma rápida de ver a razão sem computar volumes explicitamente é usar a identidade (derivável):
e=\frac{V-V_s}{V_s}=\frac{V}{V_s}-1=\frac{V\,G_s}{m_s}-1,
pois V_s=m_s/G_s.

Passo 8

(e) Grau de saturação S_r.
Definição e fórmula: grau de saturação é a fração do volume de vazios ocupado por água:
S_r=\frac{V_w}{V_v}.
Expressamos também em porcentagem multiplicando por 100\%. Calculando:
\begin{aligned} &S_{r,A}=\frac{310}{581{,}1320755}=0{,}5335978836=53{,}36\%,\\\ &S_{r,B}=\frac{410}{418{,}8679245}=0{,}9787207792=97{,}87\%,\\\ &S_{r,C}=\frac{785}{786{,}7924528}=0{,}9977477477=99{,}77\%,\\\ &S_{r,D}=\frac{310}{388{,}6792453}=0{,}7975728155=79{,}76\%. \end{aligned}
Interpretação curta: S_r próximo de 100\% indica praticamente saturado (como C e B perto de saturação); valores menores indicam presença de ar nos vazios.

Resposta

A: (a) \rho=1{,}420\\ \mathrm{g/cm}^3
\quad (b) w=27{,}93\%
\quad (c) \rho_d=1{,}110\\ \mathrm{g/cm}^3
\quad (d) e=1{,}387
\quad (e) S_r=53{,}36\%
B: (a) \rho=1{,}950\\ \mathrm{g/cm}^3
\quad (b) w=26{,}62\%
\quad (c) \rho_d=1{,}540\\ \mathrm{g/cm}^3
\quad (d) e=0{,}7208
\quad (e) S_r=97{,}87\%
C: (a) \rho=1{,}350\\ \mathrm{g/cm}^3
\quad (b) w=138{,}94\%
\quad (c) \rho_d=0{,}565\\ \mathrm{g/cm}^3
\quad (d) e=3{,}689
\quad (e) S_r=99{,}77\%
D: (a) \rho=1{,}930\\ \mathrm{g/cm}^3
\quad (b) w=19{,}14\%
\quad (c) \rho_d=1{,}620\\ \mathrm{g/cm}^3
\quad (d) e=0{,}6358
\quad (e) S_r=79{,}76\%

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