Uma amostra quartzosa típica tem 45 \mathrm{~cm}^{3} quando está úmida e pesa 80 g . Depois de secada em estufa pesa 70 g . Supondo um \gamma_{\mathrm{s}} adequado calcule \mathrm{w}, \gamma, \gamma_{\mathrm{d}}, \mathrm{e}, \mathrm{n} \in \mathrm{Sr}.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumindo e deixando claro o que é dado e o que se pede).
Dado:
\begin{aligned} &\text{volume total úmido } V = 45\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &\text{massa úmida } m_{\text{úm}} = 80\\ \mathrm{g},\\\ &\text{massa seca (sólidos) } m_s = 70\\ \mathrm{g}. \end{aligned}úúúó
Pede-se calcular (para a amostra de quartzo), assumindo um \gamma_s adequado:
w,\\ \gamma,\\ \gamma_d,\\ e,\\ n,\\ S_r.
Observações claras dos dados que usarei:
  • massa de água: m_w = m_{\text{úm}} - m_s = 80\\ \mathrm{g} - 70\\ \mathrm{g} = 10\\ \mathrm{g}.ú
  • o enunciado não dá explicitamente G_s nem \gamma_s, então vou assumir o valor típico para quartzo: G_s = 2{,}65 (ou seja \gamma_s = G_s\gamma_w). Vou explicitar essa suposição no próximo passo.

Passo 2

Escolha da convenção e constantes; explicação do que é cada grandeza.
  • Vou trabalhar em unidades SI (m, kg, N, kN/m³) ao calcular tensões/pressões e volumes em m³. Para facilitar verificações intermedias também vou mostrar valores equivalentes em \mathrm{cm}^3 e g quando for transparente.
  • Constantes adotadas: \gamma_w = 9{,}81\\ \mathrm{kN/m}^3,\qquad G_s = 2{,}65.Assim \gamma_s = G_s\gamma_w = 2{,}65\cdot 9{,}81 = 25{,}99\\ \mathrm{kN/m}^3 \\ (\text{aprox. }26{,}0\\ \mathrm{kN/m}^3).
  • Conversões que vou usar: 1\\ \mathrm{cm}^3 = 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3,\qquad 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg}.
  • Definições (explicando o que cada fórmula significa):
    • \displaystyle w=\frac{m_w}{m_s} é o teor de água gravimétrico (massa de água / massa de sólidos).
    • \displaystyle \gamma=\frac{W}{V}=\frac{m_{\text{úm}}\,g}{V}ú é o peso unitário do solo (peso total / volume total).
    • \displaystyle \gamma_d=\frac{W_d}{V}=\frac{m_s\,g}{V} é o peso unitário seco (peso dos sólidos / volume total).
    • \displaystyle V_s=\frac{m_s}{\rho_s} é o volume de sólidos, com \rho_s=G_s\rho_w e \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m}^3.
    • \displaystyle V_v=V-V_s é o volume de vazios.
    • \displaystyle e=\frac{V_v}{V_s} é a razão de vazios.
    • \displaystyle n=\frac{V_v}{V} é a porosidade.
    • \displaystyle S_r=\frac{V_w}{V_v} é o grau de saturação (volume de água/volume de vazios). Alternativa útil: S_r=\dfrac{w\,G_s}{e} (derivada das definições anteriores).

Passo 3

Calcular m_w e w (teor de água) passo a passo.
  • Massa de água: m_w = m_{\text{úm}}-m_s = 80\\ \mathrm{g}-70\\ \mathrm{g}=10\\ \mathrm{g}=0{,}010\\ \mathrm{kg}.ú
  • Teor de água: w=\frac{m_w}{m_s}=\frac{10\\ \mathrm{g}}{70\\ \mathrm{g}}=\frac{10}{70}=0{,}142857\ldotsEm porcentagem: w=0{,}142857\ldots =14{,}29\%.
(Interpretação pedagógica: w diz que a massa de água representa cerca de 14{,}3\% da massa dos sólidos. Na prova, calcule sempre massa de água e divida pela massa seca.)

Passo 4

Calcular \gamma (peso unitário úmido) com cuidado das unidades.
  • Primeiro converto massa e volume para SI: m_{\text{úm}}=80\\ \mathrm{g}=0{,}080\\ \mathrm{kg},\qquad V=45\\ \mathrm{cm}^3=45\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3=4{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.ú
  • Peso total W = m_{\text{úm}}\,gú (com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2): W=0{,}080\cdot 9{,}81 = 0{,}7848\\ \mathrm{N}.
  • Unidade de volume pequena, então o cálculo do peso unitário: \gamma=\frac{W}{V}=\frac{0{,}7848\\ \mathrm{N}}{4{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3}=1{,}744\times 10^{4}\\ \mathrm{N/m}^3=17{,}44\\ \mathrm{kN/m}^3.
(Dica prática: muitas questões usam \gamma em kN/m³; converta N/m³ para kN/m³ dividindo por 1000.)

Passo 5

Calcular \gamma_d (peso unitário seco).
  • Massa seca m_s=70\\ \mathrm{g}=0{,}070\\ \mathrm{kg}.
  • Peso seco W_d = m_s\,g = 0{,}070\cdot 9{,}81 = 0{,}6867\\ \mathrm{N}.
  • Então \gamma_d=\frac{W_d}{V}=\frac{0{,}6867}{4{,}5\times 10^{-5}}=1{,}526\times 10^{4}\\ \mathrm{N/m}^3=15{,}26\\ \mathrm{kN/m}^3.
(Verificação rápida: \gamma = \gamma_d(1+w) em termos de massa, testando: \gamma_d(1+w)=15{,}26\cdot(1+0{,}142857)=15{,}26\cdot1{,}142857\approx17{,}44\\ \mathrm{kN/m}^3, bate com \gamma.)

Passo 6

Calcular volume de sólidos V_s.
  • Densidade dos sólidos: \rho_s = G_s\rho_w = 2{,}65\cdot 1000\\ \mathrm{kg/m}^3 = 2650\\ \mathrm{kg/m}^3.
  • Volume de sólidos: V_s=\frac{m_s}{\rho_s}=\frac{0{,}070\\ \mathrm{kg}}{2650\\ \mathrm{kg/m}^3}=2{,}6415094\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.Em \mathrm{cm}^3: V_s = 2{,}6415094\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3 = 26{,}415094\\ \mathrm{cm}^3.
(Explicação: dividir massa dos sólidos pela sua massa volumétrica dá o volume ocupado pelos grãos sólidos.)

Passo 7

Calcular volume de vazios V_v.
  • Volume total V=45\\ \mathrm{cm}^3 = 45\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3 = 4{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
  • Em metros cúbicos: V_v = V - V_s = 4{,}5\times 10^{-5} - 2{,}6415094\times 10^{-5} = 1{,}8584906\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.Em \mathrm{cm}^3: V_v = 45\\ \mathrm{cm}^3 - 26{,}415094\\ \mathrm{cm}^3 = 18{,}584906\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 8

Calcular razão de vazios e.
  • Definição: e=\frac{V_v}{V_s} = \frac{1{,}8584906\times 10^{-5}}{2{,}6415094\times 10^{-5}} = 0{,}7039\ldotsAproximando: e=0{,}704\\ (\text{sem unidade}).
(Interpretação: para cada 1 cm³ de sólidos há cerca de 0,704 cm³ de vazios.)

Passo 9

Calcular porosidade n.
  • Definição: n=\frac{V_v}{V}=\frac{1{,}8584906\times 10^{-5}}{4{,}5\times 10^{-5}}=0{,}412999\ldotsEm porcentagem: n=0{,}4130 \approx 41{,}30\%.
(Relação entre e e n: n=\dfrac{e}{1+e}. Verificação rápida: e/(1+e)=0{,}7039/(1+0{,}7039)=0{,}4130, confere.)

Passo 10

Calcular grau de saturação S_r (duas maneiras e verificação).
  • Volume de água V_w: V_w=\frac{m_w}{\rho_w}=\frac{0{,}010\\ \mathrm{kg}}{1000\\ \mathrm{kg/m}^3}=1{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3 = 10\\ \mathrm{cm}^3.
  • Método direto: S_r=\frac{V_w}{V_v}=\frac{1{,}0\times 10^{-5}}{1{,}8584906\times 10^{-5}}=0{,}5380\ldotsOu seja: S_r=0{,}5380\approx 53{,}80\%.
  • Verificação com fórmula alternativa: S_r=\frac{w\,G_s}{e}=\frac{0{,}142857\cdot 2{,}65}{0{,}7039}=0{,}5380,que coincide com o cálculo direto.
(Interpretação: a amostra está parcialmente saturada, cerca de 53{,}8\% dos vazios estão preenchidos por água.)

Resposta

w=14{,}29\%
\gamma=17{,}44\\ \mathrm{kN/m}^3
\gamma_d=15{,}26\\ \mathrm{kN/m}^3
e=0{,}704
n=0{,}413
S_r=0{,}538

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