Uma amostra de argila saturada pesa 1526 g e 1053 g depois de levada em estufa. Calcule sua umidade gravimétrica. Considerando-se \gamma_{s}=27 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. Calcule também e, n, e \gamma.

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede:\n
  • Peso da amostra saturada (úmida): 1526\\ \mathrm{g}.
  • Peso da amostra depois de estufa (seca): 1053\\ \mathrm{g}.
  • Unidade de peso dos sólidos: \gamma_{s}=27\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}.
    Perguntas: calcular a umidade gravimétrica w, o índice de vazios e, a porosidade n e o peso específico (unit weight) saturado \gamma.

Passo 2

Converter massas para unidades convenientes e obter a massa de água:\n
  • Massa úmida total: \;1526\\ \mathrm{g}=1,526\\ \mathrm{kg}.\n
  • Massa seca (massa dos sólidos): \;1053\\ \mathrm{g}=1,053\\ \mathrm{kg}.\n
  • Massa da água presente: \;m_{w}=1,526-1,053=0,473\\ \mathrm{kg}.\n
    Agora a definição e cálculo da umidade gravimétrica:\n
  • Definição: a umidade gravimétrica w é a razão entre a massa de água e a massa de sólidos. Em fórmula:
w=\frac{m_{w}}{m_{s}}.
  • Aqui m_{w}=0,473\\ \mathrm{kg} e m_{s}=1,053\\ \mathrm{kg}. Portanto
w=\frac{0,473}{1,053}=0,449572\ldots
  • Em porcentagem: w\approx 44,96\%.\n
    (Interpretação: isso significa que a massa de água corresponde a cerca de 44{,}96\% da massa dos sólidos.)

Passo 3

Relacionamento entre w e o índice de vazios e em solo saturado e cálculo de G_{s}:\n
  • Quando o solo está saturado, todos os vazios são preenchidos por água. Podemos usar a relação entre massas, densidades e volumes para obter e. Vou deduzir a fórmula curta que usaremos.\n
  • Começando de w=\dfrac{m_{w}}{m_{s}} e escrevendo massas em termos de densidades e volumes:
m_{w}=\rho_{w}V_{v},\qquad m_{s}=\rho_{s}V_{s},
onde \rho_{w} é a massa específica da água ( 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}) e \rho_{s} a massa específica dos sólidos. Logo
w=\frac{\rho_{w}V_{v}}{\rho_{s}V_{s}}=\frac{\rho_{w}}{\rho_{s}}\cdot\frac{V_{v}}{V_{s}}.
  • Como \dfrac{V_{v}}{V_{s}}=e e \rho_{s}=G_{s}\rho_{w} (definição de massa específica relativa G_{s}), obtemos a relação simples, válida para solo saturado:
w=\frac{e}{G_{s}}\quad\Longrightarrow\quad e=w\,G_{s}.
  • Então precisamos de G_{s}. Usando \gamma_{s}=27\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3} e \gamma_{w}=9{,}81\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3} (peso específico da água), temos
G_{s}=\frac{\gamma_{s}}{\gamma_{w}}=\frac{27}{9{,}81}=2{,}75153\ldots

Passo 4

Cálculo do índice de vazios e usando e=w\,G_{s}:\n
  • Usando w=0,449572\ldots e G_{s}=2{,}75153\ldots,
e=w\,G_{s}=0,449572\cdot 2{,}75153=1{,}23615\ldots
  • Arredondando de forma razoável: e\approx 1{,}236.\n
    (Interpretação: para cada unidade de volume de sólidos existe cerca de 1{,}236 unidades de volume de vazios.)

Passo 5

Cálculo da porosidade n:\n
  • Definição: porosidade n é a fração do volume total ocupada por vazios. Relaciona-se com e por
n=\frac{e}{1+e}.
  • Substituindo e=1{,}23615\ldots,
n=\frac{1{,}23615}{1+1{,}23615}=\frac{1{,}23615}{2{,}23615}=0{,}55305\ldots
  • Em porcentagem: n\approx 55{,}31\%.\n
    (Interpretação: aproximadamente 55{,}3\% do volume total é ocupado por vazios.)

Passo 6

Cálculo do peso específico saturado \gamma_{\text{sat}}: duas formas equivalentes (vou usar a fórmula compacta e mostrar a lógica por trás dela).\n
  • Definição: \gamma_{\text{sat}}=\dfrac{\text{peso total}}{\text{volume total}}=\dfrac{(m_{s}+m_{w})g}{V_{s}+V_{v}}.\n
  • Usando os pesos específicos, pode-se mostrar (derivação curta):
\gamma_{\text{sat}}=\frac{\gamma_{s}+e\,\gamma_{w}}{1+e}.
  • Alternativamente, usando G_{s}:
\gamma_{\text{sat}}=\gamma_{w}\cdot\frac{G_{s}+e}{1+e}.
  • Substituindo \gamma_{w}=9{,}81\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}, G_{s}=2{,}75153\ldots e e=1{,}23615\ldots,
\gamma_{\text{sat}}=9{,}81\cdot\frac{2{,}75153+1{,}23615}{1+1{,}23615} =9{,}81\cdot\frac{3{,}98768}{2{,}23615}=17{,}4931\ldots\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}.
  • Arredondando: \gamma_{\text{sat}}\approx 17{,}49\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}.\n
    (Verificação rápida — mesmo resultado obtém-se calculando volume dos sólidos e vazios explicitamente e dividindo o peso total pelo volume total.)

Resposta

\displaystyle w=0{,}4496\quad(44{,}96\%)\n
\displaystyle e=1{,}236\n
\displaystyle n=0{,}553\quad(55{,}31\%)\n
\displaystyle \gamma_{\text{sat}}=17{,}49\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}

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