An air-filled rubber ball has a diameter of 6 in . If the air pressure within the ball is increased until the diameter becomes 7 in ., determine the average normal strain in the rubber.

Passo 1

O enunciado dá o diâmetro inicial da bola e o diâmetro final após aumentar a pressão, e pede que a gente determine a “average normal strain” (deformação normal média) no borracha. Dados fornecidos:
D_0 = 6\\ \text{in.}
D_f = 7\\ \text{in.}
Pergunta: qual é a deformação normal média no material da bola, associada ao aumento do diâmetro de 6 in para 7 in?

Passo 2

O que é “deformação normal média” (engenharia)? Vou explicar de um jeito tranquilo: a deformação normal (engenharia) mede a mudança relativa de uma medida linear do corpo. A fórmula básica é
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0},
onde \varepsilon é a deformação (adimensional), L_0 é a medida inicial (comprimento, diâmetro, raio etc.) e \Delta L é a variação absoluta dessa medida:
\Delta L = L_f - L_0.
Aqui podemos usar o diâmetro como a medida linear representativa do alongamento local da borracha (assumindo que a expansão é aproximadamente uniforme na superfície). Observação importante: essa \varepsilon é a deformação “engenharia” (também chamada de deformação nominal), apropriada para cálculos simples e frequentemente usada em problemas de curso. Se os alongamentos fossem muito grandes e quiséssemos exatidão, poderíamos usar a deformação logarítmica (verdadeira), mas para este problema a engenharia é a escolha padrão.

Passo 3

Calculemos a variação do diâmetro:
\Delta D = D_f - D_0 = 7 - 6 = 1\\ \text{in.}
Agora aplicamos a fórmula da deformação:
\varepsilon = \frac{\Delta D}{D_0} = \frac{1}{6}.
Faço a divisão para dar um valor decimal:
\frac{1}{6} = 0,166666\ldots \approx 0,1667.
Em porcentagem isso é
\varepsilon \approx 16{,}67\%.

Passo 4

Como comentário adicional (não pedido, só para aprendizado): se alguém pedisse a deformação verdadeira (logarítmica), seria
\varepsilon_{\text{verd}} = \ln\!\left(\frac{D_f}{D_0}\right) = \ln\!\left(\frac{7}{6}\right) \approx 0,15415 \quad(\text{ou }15{,}415\%).
Mas a resposta usual e pedida aqui é a deformação de engenharia que calculamos.

Resposta

\varepsilon = \dfrac{1}{6} = 0,1667 \approx 16{,}67\%

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