Diz-se que apenas a ponta de um iceberg emerge e que 90 \% ficam imersos, abaixo da superfície. Calcular a densidade do gelo supondo que a afirmação é verdadeira e o valor da densidade da água do mar é 1025 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado diz que apenas a ponta do iceberg emerge e que 90\% do seu volume ficam imersos, abaixo da superfície. Foi dado o valor da densidade da água do mar, \rho_{\text{água}} = 1025\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}á. A pergunta é: calcular a densidade do gelo (do iceberg), \rho_{\text{gelo}}, supondo que essa afirmação é verdadeira. Informações relevantes listadas:
  • Fração do volume imerso: 90\% (ou seja, a parte submersa ocupa 0,90 do volume total).
  • Densidade da água do mar: \rho_{\text{água}} = 1025\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}á.
  • Queremos encontrar a densidade do gelo: \rho_{\text{gelo}} = ?

Passo 2

Vamos traduzir o equilíbrio físico em equações (aqui eu explico cada conceito passo a passo). Um iceberg em repouso flutua em equilíbrio quando a força de empuxo para cima (que é o peso do fluido deslocado) é igual ao peso do próprio iceberg para baixo. Escrevendo isso com fórmulas:
  • Peso do iceberg: peso = massa \times gravidade. A massa do iceberg é densidade vezes volume total, então o peso é \rho_{\text{gelo}}\,V_{\text{tot}}\,g.
  • Força de empuxo: é igual ao peso do volume de água deslocado, isto é \rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,gá.
    Aqui:
  • \rho_{\text{gelo}} é a densidade do gelo (o que queremos),
  • V_{\text{tot}} é o volume total do iceberg,
  • V_{\text{sub}} é o volume submerso,
  • g é a aceleração da gravidade (vai cancelar, então não precisamos do seu valor numérico).
A condição de equilíbrio é, portanto:
\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,g = \rho_{\text{gelo}}\,V_{\text{tot}}\,g.á

Passo 3

Agora usamos a informação do enunciado sobre a fração submersa. Como 90\% do volume está imerso, escrevemos:
V_{\text{sub}} = 0{,}90\,V_{\text{tot}}.
Substituindo isso na equação do equilíbrio (e lembrando que g aparece dos dois lados e pode ser cancelado), obtém-se:
\rho_{\text{água}}\,(0{,}90\,V_{\text{tot}})\,g = \rho_{\text{gelo}}\,V_{\text{tot}}\,g.á

Passo 4

Simplificamos a equação passo a passo. Primeiro podemos cancelar g em ambos os lados, depois V_{\text{tot}} também (desde que o volume não seja zero, e obviamente não é):
\rho_{\text{água}}\cdot 0{,}90 = \rho_{\text{gelo}}.á
Ou seja, a densidade do gelo é simplesmente a densidade da água multiplicada pela fração submersa:
\rho_{\text{gelo}} = 0{,}90\,\rho_{\text{água}}.á
(Nota didática: isso é geral — se uma fração f do volume estiver submersa então \rho_{\text{obj}} = f\,\rho_{\text{fluido}}.)

Passo 5

Agora fazemos a conta numérica substituindo \rho_{\text{água}} = 1025\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}á:
\rho_{\text{gelo}} = 0{,}90 \times 1025\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Calculando:
0{,}90 \times 1025 = 922{,}5.
Portanto
\rho_{\text{gelo}} = 922{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 6

Pequena interpretação e checagem: a densidade do gelo encontrada é menor que a da água do mar ( 922{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} < 1025\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} ), o que faz sentido porque o gelo flutua. O valor típico conhecido para gelo puro é cerca de 917\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, então nosso resultado está na mesma ordem e é plausível, considerando aproximações e que a água do mar tem sal (maior densidade).

Resposta

\,922{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}

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