Ana possui uma renda mensal de \mathrm{R} \ 200,00$ que é alocada entre dois bens: carne e batata.
a. Suponha que os quilos da carne e da batata custem \mathrm{R} \ 4,00 e\mathrm{R} $2,00 , respectivamente. Defina a linha de orçamento de Ana. b. Suponha também que a função utilidade de Ana seja dada pela equação \(U(C, B)=2 C+B\). Qual a combinação de carne e batata ela deveria comprar para maximizar sua utilidade? (Dica: os bens são substitutos perfeitos) c. Uma praga acometeu as plantações de batata da região em que Ana mora, fazendo com que o preço do quilo passasse para \(\mathrm{R} \\) 4,00. Qual a sua nova linha de orçamento? Qual a combinação de carne e batata que maximiza a utilidade de Ana?

Passo 1

O enunciado diz que Ana tem renda mensal de \mathrm{R}\$200 e gasta em dois bens: carne ( C) e batata ( B). Primeiro os preços são p_C=\mathrm{R}\$4 e p_B=\mathrm{R}\$2. Depois, sua utilidade é
U(C,B)=2C+B
que é o caso de bens substitutos perfeitos. Vamos achar a reta orçamentária e depois resolver a maximização de utilidade para cada cenário de preços.

Passo 2

Com renda M=200, preço da carne p_C=4 e da batata p_B=2, a linha de orçamento é
4\,C \;+\;2\,B \;=\;200.
Isso significa que todos os pares (C,B) que satisfazem essa equação estão dentro do orçamento de Ana.

Passo 3

Para maximizar U(C,B)=2C+B com substitutos perfeitos, comparamos as utilidades marginais por unidade monetária:
\frac{MU_C}{p_C} = \frac{2}{4} = 0{,}5, \quad \frac{MU_B}{p_B} = \frac{1}{2} = 0{,}5.
Como \tfrac{MU_C}{p_C} = \tfrac{MU_B}{p_B}, Ana é indiferente entre gastar em carne ou em batata. Logo qualquer combinação de (C,B) ao longo de
4C + 2B = 200
é ótima. Em outras palavras, há infinitas soluções de maximização de utilidade.

Passo 4

Agora o preço da batata sobe para p_B=4. A nova reta de orçamento é
4\,C \;+\;4\,B \;=\;200 \quad\Longleftrightarrow\quad C + B = 50.

Passo 5

Reavaliando as utilidades marginais por real gasto:
\frac{MU_C}{p_C} = \frac{2}{4} = 0{,}5, \quad \frac{MU_B}{p_B} = \frac{1}{4} = 0{,}25.
Como \tfrac{MU_C}{p_C} > \tfrac{MU_B}{p_B}, Ana deve gastar toda a sua renda em carne. Da equação C+B=50 e B=0, obtemos
C = 50,\quad B=0.

Resposta

a. \displaystyle 4C + 2B = 200.
b. Qualquer combinação (C,B) que satisfaça 4C+2B=200 maximiza a utilidade (infinítas soluções).
c. Nova linha de orçamento \displaystyle 4C +4B=200 (ou C+B=50); solução ótima C=50, B=0.

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