Analisar a veracidade das seguintes afirmações:
(4) A inclinação da reta tangente ao gráfico de x \ln (y)+y e^{x-1}-1=0 no ponto x=1, y=1 é -2 .

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x\ln(y) + y e^{x-1} - 1 = 0
e afirma que a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa curva no ponto x=1,\;y=1 é -2.
O que se pede: verificar se essa afirmação é verdadeira e, se não for, encontrar a inclinação correta da tangente em (1,1).
Informações dadas que vamos usar: a equação implícita acima e o ponto (1,1) que pertence à curva.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): como a curva está definida por uma equação implícita envolvendo y como função de x, vamos usar diferenciação implícita para obter \dfrac{dy}{dx} (a inclinação da tangente) em termos de x e y, e depois avaliar em x=1,\;y=1.
Explicação rápida da técnica que usaremos:
  • Diferenciação implícita: quando uma equação relaciona x e y sem isolar y, derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x, tratando y como função de x. Assim, sempre que derivamos uma expressão que contém y, aplicamos a regra da cadeia e surge um fator \dfrac{dy}{dx}.
  • Regras que vamos usar:
    • Regra do produto: se u(x) e v(x) dependem de x, então \dfrac{d}{dx}[u v] = u' v + u v'.
    • Derivada de \ln(y) com respeito a x: \dfrac{d}{dx}[\ln(y)] = \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}.
    • Derivada de e^{x-1} com respeito a x: \dfrac{d}{dx}[e^{x-1}] = e^{x-1}.

Passo 3

Vamos derivar termo a termo a equação
x\ln(y) + y e^{x-1} - 1 = 0
em relação a x.
Derivando o primeiro termo x\ln(y) (produto de x e \ln(y)):
  • derivada de x é 1, então contribui 1\cdot \ln(y)=\ln(y);
  • mais x vezes a derivada de \ln(y), que é x\cdot\left(\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}\right).
    Logo a derivada de x\ln(y) é
\ln(y) + x\cdot\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}.
Derivando o segundo termo y e^{x-1} (produto de y e e^{x-1}):
  • derivada de y é \dfrac{dy}{dx}, multiplicada por e^{x-1} \dfrac{dy}{dx}\,e^{x-1};
  • mais y vezes derivada de e^{x-1}, que é y\,e^{x-1}.
    Logo a derivada de y e^{x-1} é
\frac{dy}{dx}\,e^{x-1} + y\,e^{x-1}.
Derivada de -1 é 0.
Somando tudo e igualando a zero obtemos:
\ln(y) + x\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx}\,e^{x-1} + y\,e^{x-1} = 0.

Passo 4

Agora isolamos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx}. Reagrupar:
\left(x\frac{1}{y} + e^{x-1}\right)\frac{dy}{dx} + \ln(y) + y\,e^{x-1} = 0.
Passando o termo livre para o outro lado e dividindo, obtemos a expressão para a derivada:
\frac{dy}{dx} = -\frac{\ln(y) + y\,e^{x-1}}{\,x\frac{1}{y} + e^{x-1}\,}.
Explicação do que cada símbolo representa:
  • \dfrac{dy}{dx} é a inclinação da reta tangente à curva no ponto considerado.
  • x e y são as coordenadas do ponto onde vamos avaliar.
  • \ln(y) é o logaritmo natural de y.
  • e^{x-1} é a exponencial de x-1.

Passo 5

Agora avaliamos \dfrac{dy}{dx} no ponto (x,y)=(1,1).
Calculemos cada parte:
  • \ln(1) = 0.
  • e^{1-1} = e^{0} = 1.
  • y\,e^{x-1} em (1,1) é 1\cdot 1 = 1.
  • x\frac{1}{y} em (1,1) é \dfrac{1}{1} = 1.
Substituindo na fórmula:
\frac{dy}{dx}\Bigg|_{(1,1)} = -\frac{0 + 1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação final: a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto (1,1) é -\dfrac{1}{2}, ou seja -0,5. A afirmação do enunciado de que a inclinação é -2 é, portanto, incorreta.
Força aí — você já viu o caminho padrão: diferenciação implícita + regata do produto + avaliar no ponto. Dá pra decorar esse procedimento que cai bastante em prova.

Resposta

A afirmação é falsa. A inclinação correta é -\dfrac{1}{2}.

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