Analisar a veracidade das seguintes afirmações:
(4) A inclinação da reta tangente ao gráfico de x \ln (y)+y e^{x-1}-1=0 no ponto x=1, y=1 é -2 .
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
x\ln(y) + y e^{x-1} - 1 = 0
e afirma que a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa curva no ponto x=1,\;y=1 é -2.
O que se pede: verificar se essa afirmação é verdadeira e, se não for, encontrar a inclinação correta da tangente em (1,1).
Informações dadas que vamos usar: a equação implícita acima e o ponto (1,1) que pertence à curva.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): como a curva está definida por uma equação implícita envolvendo y como função de x, vamos usar diferenciação implícita para obter \dfrac{dy}{dx} (a inclinação da tangente) em termos de x e y, e depois avaliar em x=1,\;y=1.
Explicação rápida da técnica que usaremos:
Diferenciação implícita: quando uma equação relaciona x e y sem isolar y, derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x, tratando y como função de x. Assim, sempre que derivamos uma expressão que contém y, aplicamos a regra da cadeia e surge um fator \dfrac{dy}{dx}.
Regras que vamos usar:
Regra do produto: se u(x) e v(x) dependem de x, então \dfrac{d}{dx}[u v] = u' v + u v'.
Derivada de \ln(y) com respeito a x: \dfrac{d}{dx}[\ln(y)] = \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}.
Derivada de e^{x-1} com respeito a x: \dfrac{d}{dx}[e^{x-1}] = e^{x-1}.
Passo 3
Vamos derivar termo a termo a equação
x\ln(y) + y e^{x-1} - 1 = 0
em relação a x.
Derivando o primeiro termo x\ln(y) (produto de x e \ln(y)):
derivada de x é 1, então contribui 1\cdot \ln(y)=\ln(y);
mais x vezes a derivada de \ln(y), que é x\cdot\left(\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}\right).
Logo a derivada de x\ln(y) é
\ln(y) + x\cdot\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}.
Derivando o segundo termo y e^{x-1} (produto de y e e^{x-1}):
derivada de y é \dfrac{dy}{dx}, multiplicada por e^{x-1} dá \dfrac{dy}{dx}\,e^{x-1};
mais y vezes derivada de e^{x-1}, que é y\,e^{x-1}.
Logo a derivada de y e^{x-1} é
Interpretação final: a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto (1,1) é -\dfrac{1}{2}, ou seja -0,5. A afirmação do enunciado de que a inclinação é -2 é, portanto, incorreta.
Força aí — você já viu o caminho padrão: diferenciação implícita + regata do produto + avaliar no ponto. Dá pra decorar esse procedimento que cai bastante em prova.
Resposta
A afirmação é falsa. A inclinação correta é -\dfrac{1}{2}.