Considere uma função
tal que existe a derivada. Suponha que
sempre. Julgue as seguintes afirmativas:
(0)
é estritamente crescente.
(1) Se
, então
.
(2) Se
, então
não tem nenhuma raiz real.
(3) Se
for a função do item 2, temos que
.
(4) A equação
tem exatamente uma raiz real.
(0)
(1) Se
(2) Se
(3) Se
(4) A equação
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (resuma e liste o que é pedido):
-
Informações dadas:
- Existe uma função diferenciável
. - Para todo
vale .
- Existe uma função diferenciável
-
Perguntas: julgar (verdadeiro ou falso) cada afirmativa:
- (0)
é estritamente crescente. - (1) Se
, então . - (2) Para
, a função não tem nenhuma raiz real. - (3) Se
for a função do item 2, então . - (4) A equação
tem exatamente uma raiz real.
- (0)
A partir daqui vamos analisar cada item cuidadosamente, passo a passo.
Passo 2
Prova do item (0): mostrar que
é estritamente crescente.
-
Primeiro, lembro como se verifica que uma função é crescente: se a derivada é positiva em todo ponto, então a função é estritamente crescente (teorema básico de análise). Vou usar isso.
-
Calculo a derivada de
usando a regra do produto (ou regra da derivada de um produto): se então . Aqui tomo e . Assim, -
Pela hipótese do enunciado,
para todo . E para todo . Portanto Como a derivada é estritamente positiva em todo ponto,é estritamente crescente. -
Conclusão do item (0): verdadeiro.
Passo 3
Prova do item (1): se
então
.
-
Usei no passo anterior a função
e mostrei que é estritamente crescente. Vou usar essa propriedade. -
Avalio
em : Comoé estritamente crescente, para qualquer vale . -
Agora relaciono
de volta a : . Como para todo , a desigualdade implica para todo . -
Conclusão do item (1): verdadeiro.
Passo 4
Análise do item (2): para
, verificar se
não tem nenhuma raiz real.
-
Primeiro escrevo explicitamente a função (essa é a do enunciado do item 2):
-
Vou verificar o comportamento nos extremos para aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Para
temos , então os termos dominantes são . Em particular Para, -
Como
é contínua (é combinação de exponencial e polinômio), e toma valores de sinais opostos em dois pontos ( e ), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um tal que . Ou seja, existe ao menos uma raiz real. -
Portanto a afirmação "
não tem nenhuma raiz real" é falsa. -
Conclusão do item (2): falso.
Passo 5
Análise do item (3): para a mesma função do item 2, verificar se
.
-
Primeiro calcule a derivada
: -
Subtraio
de para ver a relação: -
Assim
para todo , com igualdade somente em . Isso significa que para todo , e estritamente para . Em particular a afirmação " " é falsa. -
Conclusão do item (3): falso.
Passo 6
Análise do item (4): a equação
tem exatamente uma raiz real?
-
Reescrevo a equação como
com da etapa anterior: Já vimos no Passo 4 que existe pelo menos uma raiz real (há mudança de sinal entree ). -
Para provar que a raíz é única, mostro que
é estritamente crescente (ou seja, tem derivada positiva em todo ponto), o que garante no máximo uma raiz. -
Calculo novamente
: Para estudar o sinal deobservo : Comoé estritamente crescente (pois sua derivada ), tem exatamente um zero quando , isto é em . Logo é negativa para e positiva para ; portanto é uma função que primeiro decresce e depois cresce, tendo um mínimo global em . -
Avalio
no ponto desse mínimo: Como, concluímos que o mínimo global de é positivo. Portanto para todo . -
Se
para todo , então é estritamente crescente em . Uma função contínua e estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz. Já provamos que existe ao menos uma raíz. Logo existe exatamente uma raiz real. -
Conclusão do item (4): verdadeiro.
Resposta
(0) Verdadeira
(1) Verdadeira
(2) Falsa
(3) Falsa
(4) Verdadeira
(1) Verdadeira
(2) Falsa
(3) Falsa
(4) Verdadeira