Considere uma função f: R \rightarrow R tal que existe a derivada. Suponha que f^{\prime}(x)>f(x) sempre. Julgue as seguintes afirmativas:
(0) g(x)=e^{-x} f(x) é estritamente crescente.
(1) Se f\left(x_{0}\right)=0, então \forall x>x_{0}, f(x)>0.
(2) Se f(x)=2 e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}, então f não tem nenhuma raiz real.
(3) Se f for a função do item 2, temos que \forall x, f(x)>f^{\prime}(x).
(4) A equação 2 e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2} tem exatamente uma raiz real.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (resuma e liste o que é pedido):
  • Informações dadas:
    • Existe uma função diferenciável f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.
    • Para todo x\in\mathbb{R} vale f'(x)>f(x).
  • Perguntas: julgar (verdadeiro ou falso) cada afirmativa:
    • (0) g(x)=e^{-x}f(x) é estritamente crescente.
    • (1) Se f(x_0)=0, então \forall x>x_0,\;f(x)>0.
    • (2) Para f(x)=2e^{x}-1-x-\dfrac{x^{2}}{2}, a função f não tem nenhuma raiz real.
    • (3) Se f for a função do item 2, então \forall x,\; f(x)>f'(x).
    • (4) A equação 2e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2} tem exatamente uma raiz real.
A partir daqui vamos analisar cada item cuidadosamente, passo a passo.

Passo 2

Prova do item (0): mostrar que g(x)=e^{-x}f(x) é estritamente crescente.
  • Primeiro, lembro como se verifica que uma função é crescente: se a derivada é positiva em todo ponto, então a função é estritamente crescente (teorema básico de análise). Vou usar isso.
  • Calculo a derivada de g usando a regra do produto (ou regra da derivada de um produto): se g(x)=u(x)v(x) então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui tomo u(x)=e^{-x} e v(x)=f(x).
    u'(x) = \frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}.
    Assim,
    g'(x)=(-e^{-x})f(x)+e^{-x}f'(x)=e^{-x}\bigl(f'(x)-f(x)\bigr).
  • Pela hipótese do enunciado, f'(x)-f(x)>0 para todo x. E e^{-x}>0 para todo x. Portanto
    g'(x)=e^{-x}\bigl(f'(x)-f(x)\bigr)>0\quad\text{para todo }x.
    Como a derivada é estritamente positiva em todo ponto, g é estritamente crescente.
  • Conclusão do item (0): verdadeiro.

Passo 3

Prova do item (1): se f(x_0)=0 então \forall x>x_0,\;f(x)>0.
  • Usei no passo anterior a função g(x)=e^{-x}f(x) e mostrei que g é estritamente crescente. Vou usar essa propriedade.
  • Avalio g em x_0:
    g(x_0)=e^{-x_0}f(x_0)=e^{-x_0}\cdot 0 = 0.
    Como g é estritamente crescente, para qualquer x>x_0 vale g(x)>g(x_0)=0.
  • Agora relaciono g de volta a f: f(x)=e^{x}g(x). Como e^{x}>0 para todo x, a desigualdade g(x)>0 implica f(x)=e^{x}g(x)>0 para todo x>x_0.
  • Conclusão do item (1): verdadeiro.

Passo 4

Análise do item (2): para f(x)=2e^{x}-1-x-\dfrac{x^{2}}{2}, verificar se f não tem nenhuma raiz real.
  • Primeiro escrevo explicitamente a função (essa é a do enunciado do item 2):
    f(x)=2e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}.
  • Vou verificar o comportamento nos extremos para aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Para x\to -\infty temos e^{x}\to 0, então os termos dominantes são -1-x-\dfrac{x^{2}}{2}. Em particular
    \lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty.
    Para x=0,
    f(0)=2\cdot 1 -1 -0 -0 =1>0.
  • Como f é contínua (é combinação de exponencial e polinômio), e toma valores de sinais opostos em dois pontos ( \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty e f(0)=1>0), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um c<0 tal que f\text{(c)}=0. Ou seja, existe ao menos uma raiz real.
  • Portanto a afirmação " f não tem nenhuma raiz real" é falsa.
  • Conclusão do item (2): falso.

Passo 5

Análise do item (3): para a mesma função do item 2, verificar se \forall x,\; f(x)>f'(x).
  • Primeiro calcule a derivada f'(x):
    f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(2e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}\Bigr)=2e^{x}-1-x.
  • Subtraio f'(x) de f(x) para ver a relação:
    f(x)-f'(x)=\Bigl(2e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}\Bigr)-\Bigl(2e^{x}-1-x\Bigr)=-\frac{x^{2}}{2}.
  • Assim f(x)-f'(x)=-\dfrac{x^{2}}{2}\le 0 para todo x, com igualdade somente em x=0. Isso significa que f(x)\le f'(x) para todo x, e estritamente f(x)<f'(x) para x\ne 0. Em particular a afirmação " \forall x,\; f(x)>f'(x)" é falsa.
  • Conclusão do item (3): falso.

Passo 6

Análise do item (4): a equação 2e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2} tem exatamente uma raiz real?
  • Reescrevo a equação como f(x)=0 com f da etapa anterior:
    f(x)=2e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}.
    Já vimos no Passo 4 que existe pelo menos uma raiz real (há mudança de sinal entre -\infty e 0).
  • Para provar que a raíz é única, mostro que f é estritamente crescente (ou seja, tem derivada positiva em todo ponto), o que garante no máximo uma raiz.
  • Calculo novamente f'(x):
    f'(x)=2e^{x}-1-x.
    Para estudar o sinal de f' observo f''(x):
    f''(x)=2e^{x}-1.
    Como f''(x)=2e^{x}-1 é estritamente crescente (pois sua derivada f'''(x)=2e^{x}>0), f'' tem exatamente um zero quando 2e^{x}-1=0, isto é em x=-\ln 2. Logo f''(x) é negativa para x<-\ln 2 e positiva para x>-\ln 2; portanto f' é uma função que primeiro decresce e depois cresce, tendo um mínimo global em x=-\ln 2.
  • Avalio f' no ponto desse mínimo:
    f'(-\ln 2)=2e^{-\ln 2}-1-(-\ln 2)=2\cdot\frac{1}{2}-1+\ln 2=\ln 2.
    Como \ln 2>0, concluímos que o mínimo global de f' é positivo. Portanto f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Se f'(x)>0 para todo x, então f é estritamente crescente em \mathbb{R}. Uma função contínua e estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz. Já provamos que existe ao menos uma raíz. Logo existe exatamente uma raiz real.
  • Conclusão do item (4): verdadeiro.

Resposta

(0) Verdadeira
(1) Verdadeira
(2) Falsa
(3) Falsa
(4) Verdadeira

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