Analise se as afirmaçóes abaixo sâo verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(n) O raio de convergência da série da série sumn=0^infty (-1)^n(3 x-5)^2 n2^2 n(n!)^2 é infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se o raio de convergência da série sumn=0^infty (-1)^n(3x-5)^2n2^2n(n!)^2 é infinito. Isso envolve o tema de séries de potências na matemática, especificamente determinando até onde a série converge. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o raio de convergência usando o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele indica os valores de para os quais a série converge. Se o raio for infinito, significa que a série converge para qualquer valor de .

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da série:
an = (-1)^n(3x-5)^2n2^2n(n!)^2
Podemos simplificar isso para:
an = [(-1)(3x-5)^2]^n(2^2 n!)^2 = [-(3x-5)^2]^n4^n (n!)^2

Passo 4

Para encontrar o raio de convergência, usamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão:
an+1an = [-(3x-5)^2]^n+14^n+1 ((n+1)!)^2 cdot 4^n (n!)^2[-(3x-5)^2]^n = -(3x-5)^24 cdot 1(n+1)^2
Tomando o valor absoluto:
| an+1an | = (3x-5)^24 (n+1)^2

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty (3x-5)^24 (n+1)^2 = 0 tende ao infinito:
Já que , que é menor que 1, concluímos que a série converge para qualquer valor de .

Resposta

Verdadeiro. O raio de convergência da série é infinito.

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