Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície dada, no ponto indicado:
©
.
©
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a superfície se comporta em torno desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
está realmente na superfície. Substituindo
e
na equação da superfície:
Então, o ponto está na superfície, beleza!
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
. Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície nas direções de
e
.
A função dada é
. Vamos chamar de
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, apenas
depende de
:
Passo 6
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Primeiro, calculamos
.
Então,
Passo 7
Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos simplificar a equação do plano tangente:
Passo 9
Agora, para a reta normal, usamos o vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais
. No nosso caso:
A equação paramétrica da reta normal é:
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto
é
e a reta normal é dada por: