Analise cada caso abaixo, e diga qual seria a Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa a ser considerada:
Considere uma máquina que enche garrafas de bebida. O fabricante afirma que o volume médio de líquido nas garrafas é de 530 ml . Um fiscal de qualidade suspeita que o volume médio real é menor do que isso. Qual seria a Hipótese Nula e Alternativa para um Teste de Hipótese? Explique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que montar como hipóteses:
  • Informação do fabricante: o volume médio declarado é de 530\\ \text{ml}.
  • Suspeita do fiscal de qualidade: o volume médio real é menor do que 530\\ \text{ml}.
  • Pergunta pedida: qual deve ser a Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa para um teste de hipótese nesse contexto?
    Nada mais será assumido; a resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Definimos a quantidade que queremos testar. Sempre é bom explicitar a notação:
  • Seja \mu o verdadeiro valor médio do volume de líquido nas garrafas (ou seja, o parâmetro população que nos interessa).
    Explicação do porquê da forma das hipóteses: em testes de hipótese a Hipótese Nula H_0 costuma ser a afirmação de igualdade (ou a situação de “nenhuma mudança”), porque ela representa o status quo que queremos submeter à prova. A Hipótese Alternativa H_1 é a afirmação que o fiscal quer demonstrar com evidência estatística (a suspeita).

Passo 3

Traduzindo a declaração do fabricante e a suspeita do fiscal para hipóteses formais:
H_0: \mu = 530\\ \text{ml}
H_1: \mu < 530\\ \text{ml}
Comentário didático: escolhemos \mu=530 em H_0 porque esse é o valor que está sendo afirmado pelo fabricante (o “status quo”). Em H_1 colocamos o sinal de “menor” ( <) porque o fiscal suspeita exatamente que o verdadeiro média seja menor que o declarado — por isso o teste é direcional (one‑tailed), voltado para a cauda esquerda.

Passo 4

Como o teste se aplica na prática (aula rápida sobre o procedimento):
  • Você recolhe uma amostra de n garrafas e calcula a média amostral \bar X.
  • Se o desvio padrão populacional \sigma for conhecido, usa-se o estatístico
Z = \frac{\bar X - 530}{\sigma/\sqrt{n}}.
  • Se \sigma for desconhecido (caso mais comum), usa-se o estatístico t de Student
T = \frac{\bar X - 530}{s/\sqrt{n}},
onde s é o desvio padrão amostral e T tem n-1 graus de liberdade.
Regra de decisão (intuição): como H_1 é \mu<530, rejeitamos H_0 quando a média amostral for suficientemente menor que 530 — formalmente, quando o estatístico for menor que um valor crítico negativo (por exemplo, rejeitar se Z < -z_{\alpha} ou T < -t_{\alpha,n-1}), com \alpha sendo o nível de significância escolhido (ex.: 0,05).

Passo 5

Breve explicação sobre erros e escolha do lado do teste:
  • Erro do tipo I: rejeitar H_0 quando ela é verdadeira. A probabilidade disso é \alpha (o nível de significância que você fixa).
  • Erro do tipo II: não rejeitar H_0 quando H_1 é verdadeira. A probabilidade disso é \beta; a potência do teste é 1-\beta.
    Escolher H_1 como \mu<530 concentra todo o poder do teste para detectar uma queda média (mais sensível para esse tipo de desvio do fabricante). Se o fiscal apenas quisesse detectar qualquer diferença (maior ou menor), aí sim usaríamos uma alternativa bilateral \mu\neq530.

Passo 6

Resumo prático e incentivo: para o caso dado — fabricante afirma \mu=530\\ \text{ml} e o fiscal suspeita que é menor — a formulação correta e usual é a mostrada no Passo 3. Na prova, ao ver uma suspeita “menor”, lembre-se sempre: H_0 com igualdade (a afirmação inicial) e H_1 com “<” (sinal indicando a direção da suspeita). Você está no caminho certo — anota isso e pratique com um exemplo numérico para fixar!

Resposta

H_0: \mu = 530\\ \text{ml}
H_1: \mu < 530\\ \text{ml}

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