Seja
um estimador não tendencioso de um parâmetro E , então
é um estimador consistente de E , se e somente se:
a.
também for um estimador eficiente de E .
b.
for um estimador justo de E .
c.
for um estimador não viesado de E .
d. A variância de
é menor que a variância de
, sendo
outro estimador não tendencioso de E.
e. A variância de
tende a zero à medida em que o número de elementos da amostra tende a infinito.
a.
b.
c.
d. A variância de
e. A variância de
Passo 1
O enunciado diz: seja
um estimador não tendencioso (isto é, sem viés) de um parâmetro
. Pergunta-se qual das alternativas é a condição necessária e suficiente para que
seja um estimador consistente de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é não tendencioso, isto é, para todo tamanho de amostra ,
- Precisamos identificar qual das alternativas (a) a (e) equivale à consistência de
.
O que se pede: escolher a alternativa correta que caracteriza a consistência de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender, passo a passo, definições importantes (explicadas de forma bem direta e com exemplos pequenos para fixar).
Definição de estimador não tendencioso (não viesado): dizer que
é não tendencioso significa que a média do estimador, em repetições do experimento, é exatamente o valor verdadeiro do parâmetro. Em fórmulas:
Exemplo simples: se você estimar a média populacional
por
(média amostral), então
, logo
é não tendenciosa.
Definição de estimador consistente: um estimador
(indicando dependência de
, tamanho da amostra) é consistente para
se, quando
, ele converge em probabilidade para
. Em símbolos:
o que significa que para todo
,
Intuição: com mais dados, o estimador fica cada vez mais concentrado em torno do valor verdadeiro.
Passo 3
Agora uma relação muito útil: o erro quadrático médio (MSE, mean squared error) de um estimador é dado por
Há uma identidade que relaciona MSE, variância e viés:
Aqui
. No nosso caso a estimador é não tendencioso, então
e, portanto,
Isso é importante: para estimadores não tendenciosos, controlar o MSE é o mesmo que controlar a variância.
Passo 4
Suficiência: mostrar que se a variância de
tende a zero quando
, então
é consistente.
Usamos a desigualdade de Chebyshev (uma ferramenta básica e muito prática). A desigualdade de Chebyshev diz que, para qualquer variável aleatória
com média
e variância finita,
Aplicando a Chebyshev a
(cuja média é
porque é não tendencioso), obtemos
Se
quando
, o lado direito tende para
, logo a probabilidade do desvio maior que
tende a zero. Isso é exatamente a definição de consistência. Portanto:
se
se
então
, ou seja,
é consistente. Assim a alternativa (e) é suficiente.
Passo 5
Necessidade (intuição e ideia do porquê): mostrar que, sob a hipótese de não viés, a consistência implica que a variância deve tender a zero.
Intuição primeiro: consistência significa que, com amostras grandes,
fica cada vez mais concentrado ao redor de
. Essa concentração faz com que o spread (a variância) ao redor de
tenha que diminuir para zero; caso contrário, haveria sempre uma probabilidade não nula de estar afastado de
, o que contradiz a convergência em probabilidade.
Esboço de argumento formal (sem mergulhar em teoremas de convergência avançados): como
, para qualquer
temos
. A variância é a expectativa do quadrado do desvio,
Esse valor é a média ponderada das probabilidades de desvios em diferentes escalas; se todas as probabilidades de desvios maiores que qualquer
vão a zero, a contribuição para a esperança dos termos grandes desaparece e a contribuição de termos pequenos também vai a zero à medida que os desvios ficam pequenos. Com isso (e usando argumentos padrão de análise de integrais de cauda ou resultados básicos de convergência para variáveis com momentos segundos finitos), conclui-se que
Em linguagem menos técnica: se o estimador não viesado converge em probabilidade para
, então os desvios quadráticos médios em torno de
têm de desaparecer, e como MSE = variância (por ser não viesado), a variância vai a zero.
(O objetivo aqui não é provar formalmente com todas as ferramentas de medida, mas deixar claro o raciocínio e a razão pela qual a variância deve tender a zero quando o estimador não viesado é consistente. Em cursos de estatística essa equivalência é apresentada como fato padrão: para estimadores não viesados, consistência ⇔ variância → 0.)
Passo 6
Conclusão prática e ligação com as alternativas do enunciado:
- (a) eficiência não é necessária nem suficiente para consistência.
- (b) “estimador justo” é sinônimo de não tendencioso em alguns contextos, mas a questão já assume não tendencioso; ser justo não acrescenta a condição de consistência.
- (c) é redundante com o que já foi dado (não tendencioso) e não garante consistência sem informação sobre variância.
- (d) comparar variâncias com outro estimador
não dá informação sobre a variação com : mesmo que seja menor que , isso não garante que . - (e) é exatamente a condição correta: para um estimador não tendencioso, consistência é equivalente a
Resposta
(e)