Seja \mathrm{E}_{1} um estimador não tendencioso de um parâmetro E , então \mathrm{E}_{1} é um estimador consistente de E , se e somente se:
a. \mathrm{E}_{1} também for um estimador eficiente de E .
b. \mathrm{E}_{1} for um estimador justo de E .
c. \mathrm{E}_{1} for um estimador não viesado de E .
d. A variância de \mathrm{E}_{1} é menor que a variância de \mathrm{E}_{2}, sendo \mathrm{E}_{2} outro estimador não tendencioso de E.
e. A variância de \mathrm{E}_{1} tende a zero à medida em que o número de elementos da amostra tende a infinito.

Passo 1

O enunciado diz: seja \mathrm{E}_{1} um estimador não tendencioso (isto é, sem viés) de um parâmetro E. Pergunta-se qual das alternativas é a condição necessária e suficiente para que \mathrm{E}_{1} seja um estimador consistente de E.
Informações dadas:
  • \mathrm{E}_{1} é não tendencioso, isto é, para todo tamanho de amostra n,
\mathbb{E}[\mathrm{E}_{1}]=E.
  • Precisamos identificar qual das alternativas (a) a (e) equivale à consistência de \mathrm{E}_{1}.
O que se pede: escolher a alternativa correta que caracteriza a consistência de \mathrm{E}_{1}.

Passo 2

Primeiro, vamos entender, passo a passo, definições importantes (explicadas de forma bem direta e com exemplos pequenos para fixar).
Definição de estimador não tendencioso (não viesado): dizer que \mathrm{E}_{1} é não tendencioso significa que a média do estimador, em repetições do experimento, é exatamente o valor verdadeiro do parâmetro. Em fórmulas:
\mathbb{E}[\mathrm{E}_{1}]=E.
Exemplo simples: se você estimar a média populacional \mu por \bar X (média amostral), então \mathbb{E}[\bar X]=\mu, logo \bar X é não tendenciosa.
Definição de estimador consistente: um estimador \mathrm{E}_{1,n} (indicando dependência de n, tamanho da amostra) é consistente para E se, quando n\to\infty, ele converge em probabilidade para E. Em símbolos:
\mathrm{E}_{1,n}\xrightarrow{p} E \quad\text{quando } n\to\infty,
o que significa que para todo \varepsilon>0,
\lim_{n\to\infty} P\big(|\mathrm{E}_{1,n}-E|>\varepsilon\big)=0.
Intuição: com mais dados, o estimador fica cada vez mais concentrado em torno do valor verdadeiro.

Passo 3

Agora uma relação muito útil: o erro quadrático médio (MSE, mean squared error) de um estimador é dado por
\mathrm{MSE}(\mathrm{E}_{1,n})=\mathbb{E}\big[(\mathrm{E}_{1,n}-E)^2\big].
Há uma identidade que relaciona MSE, variância e viés:
\mathrm{MSE}(\mathrm{E}_{1,n})=\operatorname{Var}(\mathrm{E}_{1,n})+\big(\operatorname{Bias}(\mathrm{E}_{1,n})\big)^2.
Aqui \operatorname{Bias}(\mathrm{E}_{1,n})=\mathbb{E}[\mathrm{E}_{1,n}]-E. No nosso caso a estimador é não tendencioso, então \operatorname{Bias}(\mathrm{E}_{1,n})=0 e, portanto,
\mathrm{MSE}(\mathrm{E}_{1,n})=\operatorname{Var}(\mathrm{E}_{1,n}).
Isso é importante: para estimadores não tendenciosos, controlar o MSE é o mesmo que controlar a variância.

Passo 4

Suficiência: mostrar que se a variância de \mathrm{E}_{1,n} tende a zero quando n\to\infty, então \mathrm{E}_{1,n} é consistente.
Usamos a desigualdade de Chebyshev (uma ferramenta básica e muito prática). A desigualdade de Chebyshev diz que, para qualquer variável aleatória X com média \mu e variância finita,
P(|X-\mu|\ge \varepsilon)\le \frac{\operatorname{Var}(X)}{\varepsilon^2} \quad\text{para qualquer }\varepsilon>0.
Aplicando a Chebyshev a X=\mathrm{E}_{1,n} (cuja média é \mu=E porque é não tendencioso), obtemos
P\big(|\mathrm{E}_{1,n}-E|>\varepsilon\big)\le \frac{\operatorname{Var}(\mathrm{E}_{1,n})}{\varepsilon^2}.
Se \operatorname{Var}(\mathrm{E}_{1,n})\to 0 quando n\to\infty, o lado direito tende para 0, logo a probabilidade do desvio maior que \varepsilon tende a zero. Isso é exatamente a definição de consistência. Portanto:
se
\lim_{n\to\infty}\operatorname{Var}(\mathrm{E}_{1,n})=0,
então \mathrm{E}_{1,n}\xrightarrow{p}E, ou seja, \mathrm{E}_{1} é consistente. Assim a alternativa (e) é suficiente.

Passo 5

Necessidade (intuição e ideia do porquê): mostrar que, sob a hipótese de não viés, a consistência implica que a variância deve tender a zero.
Intuição primeiro: consistência significa que, com amostras grandes, \mathrm{E}_{1,n} fica cada vez mais concentrado ao redor de E. Essa concentração faz com que o spread (a variância) ao redor de E tenha que diminuir para zero; caso contrário, haveria sempre uma probabilidade não nula de estar afastado de E, o que contradiz a convergência em probabilidade.
Esboço de argumento formal (sem mergulhar em teoremas de convergência avançados): como \mathrm{E}_{1,n}\xrightarrow{p}E, para qualquer \varepsilon>0 temos P(|\mathrm{E}_{1,n}-E|>\varepsilon)\to0. A variância é a expectativa do quadrado do desvio,
\operatorname{Var}(\mathrm{E}_{1,n})=\mathbb{E}\big[(\mathrm{E}_{1,n}-E)^2\big].
Esse valor é a média ponderada das probabilidades de desvios em diferentes escalas; se todas as probabilidades de desvios maiores que qualquer \varepsilon vão a zero, a contribuição para a esperança dos termos grandes desaparece e a contribuição de termos pequenos também vai a zero à medida que os desvios ficam pequenos. Com isso (e usando argumentos padrão de análise de integrais de cauda ou resultados básicos de convergência para variáveis com momentos segundos finitos), conclui-se que
\lim_{n\to\infty}\operatorname{Var}(\mathrm{E}_{1,n})=0.
Em linguagem menos técnica: se o estimador não viesado converge em probabilidade para E, então os desvios quadráticos médios em torno de E têm de desaparecer, e como MSE = variância (por ser não viesado), a variância vai a zero.
(O objetivo aqui não é provar formalmente com todas as ferramentas de medida, mas deixar claro o raciocínio e a razão pela qual a variância deve tender a zero quando o estimador não viesado é consistente. Em cursos de estatística essa equivalência é apresentada como fato padrão: para estimadores não viesados, consistência ⇔ variância → 0.)

Passo 6

Conclusão prática e ligação com as alternativas do enunciado:
  • (a) eficiência não é necessária nem suficiente para consistência.
  • (b) “estimador justo” é sinônimo de não tendencioso em alguns contextos, mas a questão já assume não tendencioso; ser justo não acrescenta a condição de consistência.
  • (c) é redundante com o que já foi dado (não tendencioso) e não garante consistência sem informação sobre variância.
  • (d) comparar variâncias com outro estimador \mathrm{E}_{2} não dá informação sobre a variação com n: mesmo que \operatorname{Var}(\mathrm{E}_{1}) seja menor que \operatorname{Var}(\mathrm{E}_{2}), isso não garante que \operatorname{Var}(\mathrm{E}_{1})\to0.
  • (e) é exatamente a condição correta: para um estimador não tendencioso, consistência é equivalente a
\operatorname{Var}(\mathrm{E}_{1})\to 0 \quad\text{quando } n\to\infty.

Resposta

(e)

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