Analise a continuidade da função dada no ponto p especificado:
f(x)=\left\{\begin{aligned} 2 x, & \text { se } x \geq 1 \\\ x, & \text { se } x \leq 1\end{aligned}\right. em p=1

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)=\begin{cases} 2x, & \text{se } x\ge 1,\\[4pt] x, & \text{se } x\le 1, \end{cases}
e pede para analisar a continuidade em p=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para x>1 a regra é f(x)=2x.
  • Para x<1 a regra é f(x)=x.
  • Para x=1 o enunciado dá duas condições ao mesmo tempo: x\ge 1 e x\le 1 incluem x=1. Aplicando cada uma:
    • Se usar a primeira regra em x=1: f(1)=2\cdot 1=2.
    • Se usar a segunda regra em x=1: f(1)=1.
  • A pergunta é: a função é contínua em p=1?
Não vamos resolver nada aqui ainda; apenas listei o que o enunciado dá e o que é pedido.]

Passo 2

Definição de continuidade num ponto (explicadinha): uma função f é contínua em p se, e somente se,
  1. o limite \lim_{x\to p} f(x) existe (ou seja, os limites laterais à esquerda e à direita existem e são iguais), e
  2. esse limite é igual ao valor da função no ponto: \lim_{x\to p} f(x)=f(p).
Vou explicar os conceitos usados:
  • Limite lateral esquerdo \lim_{x\to p^-} f(x): é o valor ao qual f(x) se aproxima quando x se aproxima de p vindo de valores menores que p.
  • Limite lateral direito \lim_{x\to p^+} f(x): análogo, vindo de valores maiores que p.
    Para o limite \lim_{x\to p} f(x) existir é necessário e suficiente que \lim_{x\to p^-} f(x)=\lim_{x\to p^+} f(x).

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda em p=1. Para x<1 a função vale f(x)=x. Quando x se aproxima de 1 pela esquerda, os valores de f(x) aproximam-se simplesmente do próprio x que tende a 1. Formalmente:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} x = 1.
Explicação simples: se f(x)=x, então à medida que x\to1 temos f(x)\to1.

Passo 4

Calcular o limite pela direita em p=1. Para x>1 a função vale f(x)=2x. Quando x se aproxima de 1 pela direita, 2x aproxima-se de 2\cdot 1. Formalmente:
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} 2x = 2.
Explicação: a expressão 2x é contínua, então ao mandar x para 1 obtemos 2.

Passo 5

Comparar os limites laterais. Encontramos
\lim_{x\to 1^-} f(x)=1\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 1^+} f(x)=2.
Como os limites laterais são diferentes, o limite \lim_{x\to 1} f(x) não existe. Pela condição da definição (Passo 2), se o limite não existe a função não pode ser contínua em 1.

Passo 6

Analisar o valor f(1) conforme o enunciado: o enunciado dá duas fórmulas que ambas se aplicam em x=1, produzindo valores diferentes ( f(1)=2 pela primeira e f(1)=1 pela segunda). Isso significa que, tal como escrito, a definição da função em x=1 é ambígua (a função não está bem definida em 1). Mesmo que se escolha um dos dois valores para definir f(1), a falta de concordância entre os limites laterais ( 1 e 2) impede a existência do limite e, portanto, impede continuidade.
Observação prática (útil para prova): se a formulação pretendida fosse a usual sem ambiguidade, normalmente usa-se uma desigualdade com igualdade só em uma das partes (por exemplo f(x)=2x se x\ge1 e f(x)=x se x<1). Mesmo assim, com essa interpretação padrão teríamos f(1)=2 e os limites laterais ainda seriam 1 e 2, então a função continuaria não sendo contínua em 1.

Resposta

A função não é contínua em p=1.

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