Analise a continuidade da função dada no ponto
especificado:
em
Passo 1
O enunciado fornece a função por partes
e pede para analisar a continuidade em
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para
a regra é . - Para
a regra é . - Para
o enunciado dá duas condições ao mesmo tempo: e incluem . Aplicando cada uma: - Se usar a primeira regra em
: . - Se usar a segunda regra em
: .
- Se usar a primeira regra em
- A pergunta é: a função é contínua em
?
Não vamos resolver nada aqui ainda; apenas listei o que o enunciado dá e o que é pedido.]
Passo 2
Definição de continuidade num ponto (explicadinha): uma função
é contínua em
se, e somente se,
- o limite
existe (ou seja, os limites laterais à esquerda e à direita existem e são iguais), e - esse limite é igual ao valor da função no ponto:
.
Vou explicar os conceitos usados:
- Limite lateral esquerdo
: é o valor ao qual se aproxima quando se aproxima de vindo de valores menores que . - Limite lateral direito
: análogo, vindo de valores maiores que .
Para o limiteexistir é necessário e suficiente que .
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda em
. Para
a função vale
. Quando
se aproxima de
pela esquerda, os valores de
aproximam-se simplesmente do próprio
que tende a
. Formalmente:
Explicação simples: se
, então à medida que
temos
.
Passo 4
Calcular o limite pela direita em
. Para
a função vale
. Quando
se aproxima de
pela direita,
aproxima-se de
. Formalmente:
Explicação: a expressão
é contínua, então ao mandar
para
obtemos
.
Passo 5
Comparar os limites laterais. Encontramos
Como os limites laterais são diferentes, o limite
não existe. Pela condição da definição (Passo 2), se o limite não existe a função não pode ser contínua em
.
Passo 6
Analisar o valor
conforme o enunciado: o enunciado dá duas fórmulas que ambas se aplicam em
, produzindo valores diferentes (
pela primeira e
pela segunda). Isso significa que, tal como escrito, a definição da função em
é ambígua (a função não está bem definida em
). Mesmo que se escolha um dos dois valores para definir
, a falta de concordância entre os limites laterais (
e
) impede a existência do limite e, portanto, impede continuidade.
Observação prática (útil para prova): se a formulação pretendida fosse a usual sem ambiguidade, normalmente usa-se uma desigualdade com igualdade só em uma das partes (por exemplo
se
e
se
). Mesmo assim, com essa interpretação padrão teríamos
e os limites laterais ainda seriam
e
, então a função continuaria não sendo contínua em
.
Resposta
A função não é contínua em
.