Analise a continuidade da função dada no ponto
especificado:
em
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede para analisar a continuidade no ponto
.
Informações relevantes que temos:
- A função está definida para todos os
tais que ou . Ou seja, o intervalo NÃO faz parte do domínio. - O ponto de interesse é
, que pertence ao domínio (porque a primeira regra vale para ). - A pergunta é: a função é contínua em
?]
Passo 2
Vou lembrar o que significa ser contínuo em um ponto de forma prática e intuitiva (como se eu estivéssemos explicando na prova).
Definição prática (sequencial/visual): a função
é contínua em
se dois itens acontecem:
-
está definido; - para toda sequência
de pontos do domínio que tende para (ou, equivalentemente, para todo do domínio suficientemente próximo de ), os valores tendem para .
Uma forma usual de verificar isso em funções definidas por partes é comparar os limites laterais (limite pela direita e limite pela esquerda) com o valor
. Mas atenção importante para este problema: limites são considerados apenas ao longo dos pontos do domínio. Se o domínio não tem pontos à esquerda de
arbitrariamente próximos a
, então não existe sequência do domínio que se aproxime de
pela esquerda — logo só faz sentido verificar a aproximação vindo da direita.
Passo 3
Calcular o valor da função em
. Como
satisfaz
, usamos a primeira regra:
Passo 4
Analisar o domínio localmente em torno de
. Do enunciado pegamos que o domínio é a união de
e
. Isso significa:
- Existem pontos do domínio arbitrariamente próximos de
vindos da direita (por exemplo estão no domínio). - Não existem pontos do domínio em
, portanto NÃO existem pontos do domínio arbitrariamente próximos de vindos da esquerda. Em outras palavras, não há sequência de pontos do domínio que se aproxime de com termos menores que .
Conclusão desta análise: para verificar continuidade em
precisamos verificar o comportamento dos
que vêm de valores
(a direita). Não precisamos (nem podemos) verificar um limite pela esquerda porque o domínio não fornece pontos à esquerda próximos de
.
Passo 5
Calcular o limite pela direita em
. Para
vale
. Como
é uma função linear, seu limite quando
é simplesmente o valor em
:
Passo 6
Comparar o limite (pelo domínio) com o valor da função. Pelo Passo 3 temos
. Pelo Passo 5 temos que o único tipo de aproximação possível dentro do domínio (pela direita) dá limite
. Não existem aproximações pela esquerda dentro do domínio que contradigam isso. Portanto, para toda sequência
do domínio com
vale
.
Logo, a condição sequencial (ou a condição de limite dentro do domínio) para continuidade em
é satisfeita.
Resposta
A função é contínua em
.