Analise a continuidade da função dada no ponto p especificado:
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}2 x, & \text { se } x \geq 1 \\\ x, & \text { se } x \leq 0\end{array}\right. em p=1

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} 2x, & \text{se } x\ge 1,\\[4pt] x, & \text{se } x\le 0, \end{cases}
e pede para analisar a continuidade no ponto p=1.
Informações relevantes que temos:
  • A função está definida para todos os x tais que x\le 0 ou x\ge 1. Ou seja, o intervalo (0,1) NÃO faz parte do domínio.
  • O ponto de interesse é p=1, que pertence ao domínio (porque a primeira regra vale para x\ge 1).
  • A pergunta é: a função é contínua em p=1?]

Passo 2

Vou lembrar o que significa ser contínuo em um ponto de forma prática e intuitiva (como se eu estivéssemos explicando na prova).
Definição prática (sequencial/visual): a função f é contínua em p se dois itens acontecem:
  1. f(p) está definido;
  2. para toda sequência (x_n) de pontos do domínio que tende para p (ou, equivalentemente, para todo x do domínio suficientemente próximo de p), os valores f(x_n) tendem para f(p).
Uma forma usual de verificar isso em funções definidas por partes é comparar os limites laterais (limite pela direita e limite pela esquerda) com o valor f(p). Mas atenção importante para este problema: limites são considerados apenas ao longo dos pontos do domínio. Se o domínio não tem pontos à esquerda de p arbitrariamente próximos a p, então não existe sequência do domínio que se aproxime de p pela esquerda — logo só faz sentido verificar a aproximação vindo da direita.

Passo 3

Calcular o valor da função em p=1. Como 1 satisfaz x\ge 1, usamos a primeira regra:
f(1)=2\cdot 1=2.

Passo 4

Analisar o domínio localmente em torno de 1. Do enunciado pegamos que o domínio é a união de (-\infty,0] e [1,\infty). Isso significa:
  • Existem pontos do domínio arbitrariamente próximos de 1 vindos da direita (por exemplo 1{,}1, 1{,}01, 1{,}001,\dots estão no domínio).
  • Não existem pontos do domínio em (0,1), portanto NÃO existem pontos do domínio arbitrariamente próximos de 1 vindos da esquerda. Em outras palavras, não há sequência de pontos do domínio que se aproxime de 1 com termos menores que 1.
Conclusão desta análise: para verificar continuidade em 1 precisamos verificar o comportamento dos x que vêm de valores \ge 1 (a direita). Não precisamos (nem podemos) verificar um limite pela esquerda porque o domínio não fornece pontos à esquerda próximos de 1.

Passo 5

Calcular o limite pela direita em 1. Para x>1 vale f(x)=2x. Como 2x é uma função linear, seu limite quando x\to 1^+ é simplesmente o valor em 1:
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} 2x = 2.

Passo 6

Comparar o limite (pelo domínio) com o valor da função. Pelo Passo 3 temos f(1)=2. Pelo Passo 5 temos que o único tipo de aproximação possível dentro do domínio (pela direita) dá limite 2. Não existem aproximações pela esquerda dentro do domínio que contradigam isso. Portanto, para toda sequência (x_n) do domínio com x_n\to 1 vale f(x_n)\to 2=f(1).
Logo, a condição sequencial (ou a condição de limite dentro do domínio) para continuidade em 1 é satisfeita.

Resposta

A função é contínua em p=1.

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