Analise as duas situações a seguir e responda.
Um tubo capilar com 0,05 \mathrm{~mm} de diâmetro interno é mergulhado numa cuba com glicerina, e a glicerina sobe 25,5 \mathrm{~mm} no tubo, qual é a sua tensão superficial? Dados: massa específica =1260 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; ângulo =0^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a tensão superficial da glicerina a partir de dados de subida capilar. As informações fornecidas são:
  • diâmetro interno do tubo: D=0,05\\ \mathrm{mm};
  • altura de subida da glicerina no tubo: h=25,5\\ \mathrm{mm};
  • massa específica da glicerina: \rho=1260\\ \mathrm{kg/m^{3}};
  • ângulo de contato: \theta=0^\circ.
A pergunta única é: qual é a tensão superficial \gamma da glicerina? (usar as unidades SI).

Passo 2

Vamos escrever a relação física que liga subida capilar e tensão superficial (desenvolvimento didático):
  • Pense nas forças verticais sobre a coluna de líquido dentro do tubo. A força para cima é a componente vertical da força de tensão superficial atuando ao longo da circunferência interior do tubo. Essa força vale 2\pi r \gamma \cos\theta, onde:
    • r é o raio interno do tubo,
    • \gamma é a tensão superficial (o que queremos),
    • \theta é o ângulo de contato (ângulo entre superfície e parede do tubo),
    • o fator \cos\theta projeta a força de tensão na direção vertical.
  • A força para baixo é o peso da coluna de líquido de altura h: \text{peso} = \text{volume}\times \rho g = \pi r^{2} h \rho g.
  • No equilíbrio (subida estática), essas duas forças se igualam:
2\pi r \gamma \cos\theta = \pi r^{2} h \rho g.
  • Cancelando \pi e um fator r fica:
2\gamma \cos\theta = r h \rho g.
  • Isolando \gamma:
\gamma = \frac{\rho g r h}{2\cos\theta}.
  • Observação prática: se for mais conveniente usar o diâmetro D, como r=\dfrac{D}{2}, a fórmula pode ser escrita também como
\gamma = \frac{\rho g D h}{4\cos\theta}.
Explicação das variáveis (resumindo):
  • \gamma: tensão superficial (N/m);
  • \rho: massa específica (kg/m^3);
  • g: aceleração da gravidade (m/s^2), usar g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}};
  • r ou D: raio ou diâmetro do capilar (m);
  • h: altura de subida (m);
  • \theta: ângulo de contato (rad ou graus), usar \cos\theta.

Passo 3

Converter os dados para unidades SI e calcular passo a passo:
  • D=0,05\\ \mathrm{mm}=5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • r=\dfrac{D}{2}=2,5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • h=25,5\\ \mathrm{mm}=0,0255\\ \mathrm{m}.
  • \rho=1260\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad \theta=0^\circ\Rightarrow\cos\theta=1.
Usando a fórmula \gamma = \dfrac{\rho g r h}{2\cos\theta}:
  • Calcular \rho g:
\rho g = 1260\cdot 9,81 = 12360{,}6\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • Multiplicar por r:
12360{,}6\cdot 2,5\times10^{-5} = 0{,}309015.
  • Multiplicar pelo h:
0{,}309015\cdot 0{,}0255 = 0{,}0078798825.
  • Dividir por 2\cos\theta = 2\cdot1 = 2:
\gamma = \frac{0{,}0078798825}{2} = 0{,}00393994125\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando a três algarismos significativos:
\gamma \approx 0{,}00394\\ \mathrm{N/m} = 3{,}94\\ \mathrm{mN/m}.

Passo 4

Dicas rápidas para prova (como fazer sem calculadora muito complicada):
  • Converta milímetros para metros movendo a vírgula três casas ( 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}).
  • Use a fórmula com D se preferir: \gamma=\dfrac{\rho g D h}{4\cos\theta} — às vezes reduz etapas.
  • Faça as multiplicações em etapas e arredonde só no final.
  • Verifique unidades: \rho g tem unidades \mathrm{N/m^3}; multiplicando por r h ( \mathrm{m^2}) resulta em \mathrm{N/m}, consistente com \gamma.

Resposta

\gamma \approx 0{,}00394\\ \mathrm{N/m}

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