Um tanque de armazenamento contém óleo ( \rho=917 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) e água ( \rho= 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ). O tanque tem 3,66 \mathrm{~m} de altura e está aberto no topo para a atmosfera (1 atm). A altura do óleo no tanque é 3,05 \mathrm{~m} e o restante é completado com água. Calcule a pressão em Pascal na interface água/óleo e no fundo do tanque.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • densidade do óleo: \rho_{\text{o}}=917\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3;
    • densidade da água: \rho_{\text{w}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3;
    • altura total do tanque: 3,66\\ \mathrm{m} (não será preciso diretamente, só para verificar);
    • altura da coluna de óleo (medida a partir do topo): h_{\text{o}}=3,05\\ \mathrm{m};
    • a parte restante é água, portanto a altura da coluna de água é h_{\text{w}}=3,66-3,05=0,61\\ \mathrm{m};
    • o topo do tanque está aberto à atmosfera: pressão atmosférica p_{\text{atm}}=1\\ \text{atm}=101325\\ \mathrm{Pa};
    • aceleração da gravidade: g=9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 (valor padrão).
  • O que se pede:
    1. calcular a pressão em Pascal na interface água/óleo (ou seja, na superfície entre os dois fluidos);
    2. calcular a pressão em Pascal no fundo do tanque.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Em fluidos em repouso, a pressão aumenta com a profundidade segundo a lei da hidrostaticidade. A fórmula básica é:
p = p_0 + \rho g h
onde:
  • p é a pressão no ponto que está a uma profundidade h abaixo da superfície que tem pressão p_0;
  • p_0 é a pressão na superfície (no nosso caso p_{\text{atm}});
  • \rho é a densidade do fluido entre a superfície e o ponto;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • h é a altura/espessura da coluna de fluido acima do ponto.
Exemplo simples e intuitivo: se você tem 1 metro de água ( \rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3), a pressão adicional devido a essa coluna é \rho g h = 1000\cdot9,81\cdot1 = 9810\\ \mathrm{Pa} (cerca de 0,097 atm). Ou seja, cada metro de água adiciona aproximadamente 9810\\ \mathrm{Pa}.
No nosso problema há duas camadas: óleo por cima (até a interface) e água abaixo. Assim:
  • pressão na interface = p_{\text{atm}} + \rho_{\text{o}} g h_{\text{o}};
  • pressão no fundo = pressão na interface + \rho_{\text{w}} g h_{\text{w}}.

Passo 3

Cálculo da pressão na interface água/óleo.
  • Primeiro calcular a contribuição da coluna de óleo:
\rho_{\text{o}} g = 917\cdot 9,81 = 8995{,}77\\ (\mathrm{N}/\mathrm{m}^3).
\rho_{\text{o}} g h_{\text{o}} = 8995{,}77\cdot 3,05 = 27437{,}10\\ \mathrm{Pa}.
  • Agora somar a pressão atmosférica:
p_{\text{interface}} = p_{\text{atm}} + \rho_{\text{o}} g h_{\text{o}} = 101325 + 27437{,}10 = 128762{,}10\\ \mathrm{Pa}.
(Arredondando para o Pascal inteiro: 128762\\ \mathrm{Pa}.)

Passo 4

Cálculo da pressão no fundo do tanque.
  • Calcular a contribuição da coluna de água:
\rho_{\text{w}} g h_{\text{w}} = 1000\cdot 9,81\cdot 0,61 = 9810\cdot 0,61 = 5984{,}1\\ \mathrm{Pa}.
  • Somar essa contribuição à pressão na interface:
p_{\text{fundo}} = p_{\text{interface}} + \rho_{\text{w}} g h_{\text{w}} = 128762{,}10 + 5984{,}1 = 134746{,}20\\ \mathrm{Pa}.
(Arredondando para o Pascal inteiro: 134746\\ \mathrm{Pa}.)

Passo 5

Verificação rápida e dica para prova: outra forma direta é somar as duas cabeças de pressão sobre a superfície atmosférica:
p_{\text{fundo}} = p_{\text{atm}} + \rho_{\text{o}} g h_{\text{o}} + \rho_{\text{w}} g h_{\text{w}},
o que dá o mesmo resultado. Sempre confira unidades (densidade em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, g em \mathrm{m}/\mathrm{s}^2, alturas em \mathrm{m}) para obter Pa.

Resposta

p_{\text{interface}} = 128762\\ \mathrm{Pa}
p_{\text{fundo}} = 134746\\ \mathrm{Pa}

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