Analise o efeito do tamanho de grão sobre a resistência de metais, com base na teoria de discordâncias.

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos como o tamanho de grão de um metal afeta sua resistência mecânica, usando a teoria de discordâncias. Vamos precisar dos seguintes conceitos:
– Discordações como portadoras de plasticidade;
– Limite de escoamento \sigma_{y};
– Papel das contornas de grão como barreiras ao movimento de discordações;
– Lei de Hall–Petch que relaciona \sigma_{y} ao tamanho de grão d.

Passo 2

Plasticidade em metais ocorre pela movimentação de discordações ao longo de planos cristalográficos. As contornas de grão são regiões de desordem cristalina onde há mudança na orientação do retículo. Quando uma discordação atinge uma contorna, ela é barrada ou desacelerada, porque precisa “curvar” ou reorganizar-se para entrar no grão vizinho. Logo, mais contornas (grãos menores) significam mais obstáculos à deformação plástica.

Passo 3

Ao aplicar uma tensão crescente, várias discordações de um grão se acumulam junto à contorna numa “fila” (pile-up). O acúmulo gera uma concentração de tensão na contorna. O número de discordações empilhadas n cresce com a tensão aplicada \sigma e com o comprimento livre de escoamento, que é proporcional ao diâmetro do grão d.

Passo 4

Do modelo de pile-up segue-se, após análises elasto-plásticas simplificadas, a famosa lei de Hall–Petch:
\sigma_{y} \;=\;\sigma_{0}\;+\;k\,d^{-1/2},
onde \sigma_{y} é o limite de escoamento, \sigma_{0} é a tensão de atrito na matriz sem efeitos de grão, k é uma constante de endurecimento (dependente do material) e d é o tamanho médio de grão.

Passo 5

Da expressão acima vemos que, ao reduzir d, o termo k\,d^{-1/2} aumenta, elevando \sigma_{y}. Ou seja, metais com grãos mais finos são mais resistentes, porque o caminho livre de escoamento das discordações fica menor e elas se empilham mais facilmente contra as contornas.

Passo 6

Em escalas nanométricas muito pequenas ( d\lesssim10 nm) pode ocorrer o efeito inverso (inverse Hall–Petch), pois mecanismos de deformação associados ao deslizamento ou difusão de contornos passam a dominar, reduzindo a resistência.

Resposta

Metais com grãos menores apresentam maior limite de escoamento, seguindo a lei de Hall–Petch
\sigma_{y} = \sigma_{0} + k\,d^{-1/2},
pois grãos finos significam mais contornas de grão bloqueando a movimentação de discordações. Em grãos nanométricos muito pequenos, porém, pode surgir comportamento inverso devido a mecanismos de contorno de grão.

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