Uma análise do espectro vibracional do \mathrm{C}_{2} no estado fundamental ( \tilde{X}^{2} \Pi ) forneceu os resultados \omega_{\mathrm{e}}=1854,71 \mathrm{~cm}^{-1} e \omega_{\mathrm{e}} \chi_{\mathrm{e}}=13,34 \mathrm{~cm}^{-1}. Determine o último estado vibracional acessível. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá os valores espectroscópicos do estado vibracional fundamental da molécula \mathrm{C}_2:
  • \omega_{\mathrm{e}} = 1854{,}71\\ \mathrm{cm}^{-1}.
  • \omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}} = 13{,}34\\ \mathrm{cm}^{-1}.
O que é pedido: determinar o último (maior) número quântico vibracional v acessível (ou seja, o maior v correspondente a um nível vibracional ligado).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada termo):
  • Os valores terminais vibracionais aproximados (em unidades de \mathrm{cm}^{-1}) são dados pela expansão harmônico-aniarmônico de primeira ordem:
G(v)=\omega_{\mathrm{e}}\bigl(v+\tfrac{1}{2}\bigr)-\omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}}\bigl(v+\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}.
Aqui G(v) é a energia do nível vibracional v medida a partir do mínimo do poço; \omega_{\mathrm{e}} é a frequência harmônica (em \mathrm{cm}^{-1}); \omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}} é a constante anarmônica (em \mathrm{cm}^{-1}); e v=0,1,2,\dots.
  • A energia de dissociação (do mínimo do poço até o limite) para o modelo de Morse relaciona-se com os parâmetros por
D_{\mathrm{e}}=\frac{\omega_{\mathrm{e}}}{4\chi_{\mathrm{e}}}.
Explicação curta: para o potencial de Morse a série quadrática acima tem um máximo teórico que coincide com D_{\mathrm{e}}; isso permite obter uma condição para o maior v ligado.

Passo 3

Determinar a fronteira entre níveis ligados e a dissociação. Defina y=v+\tfrac{1}{2}. A condição de borda (igualdade) é
\omega_{\mathrm{e}}y-\omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}}y^{2}=D_{\mathrm{e}}=\frac{\omega_{\mathrm{e}}}{4\chi_{\mathrm{e}}}.
Dividindo por \omega_{\mathrm{e}} e rearranjando obtemos
y-\chi_{\mathrm{e}}y^{2}=\frac{1}{4\chi_{\mathrm{e}}}.
Multiplicando por 4\chi_{\mathrm{e}}:
4\chi_{\mathrm{e}}y-4\chi_{\mathrm{e}}^{2}y^{2}=1,
que pode ser reescrita como
(2\chi_{\mathrm{e}}y-1)^{2}=0.
Assim a solução é
y=\frac{1}{2\chi_{\mathrm{e}}}.
Voltando a v:
v+\tfrac{1}{2}=\frac{1}{2\chi_{\mathrm{e}}}\quad\Rightarrow\quad v=\frac{1}{2\chi_{\mathrm{e}}}-\tfrac{1}{2}.
Como v é inteiro, o último nível vibracional permitido é o maior inteiro menor ou igual a essa expressão, ou seja
v_{\max}=\left\lfloor\frac{1}{2\chi_{\mathrm{e}}}-\tfrac{1}{2}\right\rfloor.
(Explicando a lógica: essa fórmula é a forma prática usada em espectroscopia para obter o número máximo de níveis ligados a partir das constantes \omega_{\mathrm{e}} e \omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}}.)

Passo 4

Calcular numericamente \chi_{\mathrm{e}} a partir dos dados fornecidos:
\chi_{\mathrm{e}}=\frac{\omega_{\mathrm{e}}\chi_{\mathrm{e}}}{\omega_{\mathrm{e}}}=\frac{13{,}34}{1854{,}71}.
Fazendo a divisão (aproximação suficiente para a prova),
\chi_{\mathrm{e}}\approx 0{,}007193.

Passo 5

Calcular \dfrac{1}{2\chi_{\mathrm{e}}}-\tfrac{1}{2}:
2\chi_{\mathrm{e}}\approx 0{,}014386, \qquad \frac{1}{2\chi_{\mathrm{e}}}\approx 69{,}5169,
\frac{1}{2\chi_{\mathrm{e}}}-\tfrac{1}{2}\approx 69{,}0169.
Portanto o maior inteiro menor ou igual a esse valor é
v_{\max}=\lfloor 69{,}0169\rfloor = 69.

Passo 6

Interpretação final e incentivo rápido: o maior nível vibracional ligado previsto pelos parâmetros fornecidos é v=69. Dá pra sentir aquele alívio? É um número grande, mas matematicamente é só aplicar a fórmula e arredondar para baixo — e agora você já sabe o procedimento para qualquer outro diagrama espectroscópico parecido. Vai com calma, tá indo bem!

Resposta

v_{\max}=69

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