Uma análise do espectro vibracional do
no estado fundamental (
) forneceu os resultados
e
. Determine o último estado vibracional acessível. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado dá os valores espectroscópicos do estado vibracional fundamental da molécula
:
-
. -
.
O que é pedido: determinar o último (maior) número quântico vibracional
acessível (ou seja, o maior
correspondente a um nível vibracional ligado).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada termo):
- Os valores terminais vibracionais aproximados (em unidades de
) são dados pela expansão harmônico-aniarmônico de primeira ordem:
Aqui
é a energia do nível vibracional
medida a partir do mínimo do poço;
é a frequência harmônica (em
);
é a constante anarmônica (em
); e
.
- A energia de dissociação (do mínimo do poço até o limite) para o modelo de Morse relaciona-se com os parâmetros por
Explicação curta: para o potencial de Morse a série quadrática acima tem um máximo teórico que coincide com
; isso permite obter uma condição para o maior
ligado.
Passo 3
Determinar a fronteira entre níveis ligados e a dissociação. Defina
. A condição de borda (igualdade) é
Dividindo por
e rearranjando obtemos
Multiplicando por
:
que pode ser reescrita como
Assim a solução é
Voltando a
:
Como
é inteiro, o último nível vibracional permitido é o maior inteiro menor ou igual a essa expressão, ou seja
(Explicando a lógica: essa fórmula é a forma prática usada em espectroscopia para obter o número máximo de níveis ligados a partir das constantes
e
.)
Passo 4
Calcular numericamente
a partir dos dados fornecidos:
Fazendo a divisão (aproximação suficiente para a prova),
Passo 5
Calcular
:
Portanto o maior inteiro menor ou igual a esse valor é
Passo 6
Interpretação final e incentivo rápido: o maior nível vibracional ligado previsto pelos parâmetros fornecidos é
. Dá pra sentir aquele alívio? É um número grande, mas matematicamente é só aplicar a fórmula e arredondar para baixo — e agora você já sabe o procedimento para qualquer outro diagrama espectroscópico parecido. Vai com calma, tá indo bem!