Os níveis vibracionais do HgH convergem rapidamente e os intervalos sucessivos são 1203,7, 965,6, 632,4 e 172 \mathrm{~cm}^{-1}. Estime a energia de dissociação do HgH . ( 1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá os intervalos vibracionais sucessivos (em unidades de comprimento de onda inverso, isto é, em \mathrm{cm}^{-1}):
  • \Delta\tilde{\nu}_1 = 1203{,}7\\ \mathrm{cm}^{-1}
  • \Delta\tilde{\nu}_2 = 965{,}6\\ \mathrm{cm}^{-1}
  • \Delta\tilde{\nu}_3 = 632{,}4\\ \mathrm{cm}^{-1}
  • \Delta\tilde{\nu}_4 = 172\\ \mathrm{cm}^{-1}
Pede-se: estimar a energia de dissociação do HgH.
Dados úteis extraídos do enunciado: os intervalos são sucessivos e “convergem rapidamente” — isto indica que as separações vibracionais diminuem até zero conforme se aproxima da dissociação.

Passo 2

O conceito que vamos usar (explicado de forma didática).
  • Para um diatômico, os níveis vibracionais G(v) têm diferenças entre níveis consecutivos definidas por
\Delta\tilde{\nu}(v)=G(v+1)-G(v),
medidas em \mathrm{cm}^{-1}.
  • A energia de dissociação a partir do nível vibracional fundamental (energia necessária para levar a molécula do v=0 à dissociação) em unidades de número de onda (ou seja, D_0/hc) é a soma de todas essas diferenças desde v=0 até o limite (dissociação). Em notação:
\frac{D_0}{hc}=\sum_{v=0}^{v_{\text{max}}}\Delta\tilde{\nu}(v).
Isto é chamado de método de Birge–Sponer: somar as diferenças vibracionais fornece a energia de dissociação expressa em \mathrm{cm}^{-1}. Aqui h é a constante de Planck e c a velocidade da luz; quando trabalhamos com \mathrm{cm}^{-1} já estamos efetivamente computando D_0/(hc).

Passo 3

Como só temos alguns intervalos medidos e as separações vão a zero na dissociação, precisamos aproximar a contribuição restante após o último valor conhecido. Uma aproximação simples, razoável quando as separações decrescem rapidamente, é:
  • somar todas as separações conhecidas,
  • estimar a contribuição restante por uma área triangular que vai do último valor conhecido (ainda não zero) até zero, ou seja, adicionar metade do último intervalo. Essa aproximação assume que a queda final é aproximadamente linear até zero (é um procedimento comum e simples para uma estimativa).

Passo 4

Calcular a soma das separações fornecidas:
\begin{aligned} S &= 1203{,}7 + 965{,}6 + 632{,}4 + 172 \\\ &= 2973{,}7\\ \mathrm{cm}^{-1}. \end{aligned}
Adicionar a contribuição aproximada do “restante” (meia altura do último intervalo):
\frac{1}{2}\Delta\tilde{\nu}_4=\tfrac{1}{2}\times 172 = 86\\ \mathrm{cm}^{-1}.
Logo a estimativa de \dfrac{D_0}{hc} em \mathrm{cm}^{-1} é
\frac{D_0}{hc}\approx S + \frac{1}{2}\Delta\tilde{\nu}_4 = 2973{,}7 + 86 = 3059{,}7\\ \mathrm{cm}^{-1}.
Arredondando de forma razoável:
\frac{D_0}{hc}\approx 3060\\ \mathrm{cm}^{-1}.

Passo 5

Converter para uma unidade de energia mais comum (kJ·mol ^{-1}). A conversão é:
1\\ \mathrm{cm}^{-1} = 11{,}96266\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}} = 0{,}01196266\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
Portanto
D_0 \approx 3060 \times 0{,}01196266 = 36{,}6\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.

Resposta

D_0 \approx 3060\\ \mathrm{cm}^{-1} \approx 36{,}6\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}

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