Analise a estabilidade dos sistemas indicados abaixo usando o método do lugar das raízes.
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Passo 1
Beleza, olha só o que a gente tem: o exercício pede pra analisar a estabilidade do sistema
Gₘf(s) =
usando Lugar das Raízes. Isso é matéria de Controle Clássico – especificamente como varia a posição dos pólos fechados conforme a gente muda o ganho K.
Para resolver a gente vai precisar:
Gₘf(s) =
usando Lugar das Raízes. Isso é matéria de Controle Clássico – especificamente como varia a posição dos pólos fechados conforme a gente muda o ganho K.
Para resolver a gente vai precisar:
- Identificar a função de malha aberta com ganho K.
- Encontrar polos e zeros.
- Desenhar quais trechos do eixo real fazem parte do Lugar das Raízes.
- Ver quantos pólos começam em cada lugar e pra onde vão.
- Checar se algum ramo entra no semiplano esquerdo (estável) ou fica no direito (instável).
Passo 2
Primeiro, montamos a função de malha aberta
com um ganho K na frente de Gₘf(s). Ou seja:
e o sistema em realimentação unitária tem característica
Nosso objetivo: olhar o “Lugar das Raízes” desses pólos fechados enquanto K varia em
.
Passo 3
Vamos à lista de pólos e zeros de
:
- Zeros de malha aberta (numerador):
(é um zero no semiplano direito). - Polos de malha aberta (denominador) vêm de
Se você calcular (por tentativa ou ferramenta), acha um pólo real em e um par complexo cujas partes reais são positivas (somando algo como 0,52) – ou seja, dois pólos iniciais já estão em .
Passo 4
Regras rápidas do Lugar das Raízes:
- O número de ramos = número de polos de malha aberta = 3.
- Cada ramo parte de um pólo inicial (esses 3) e vai para um zero (aqui só temos 1 zero em
) ou para “zeros no infinito” (os outros 2 vão para o infinito). - Trechos do eixo real que pertencem ao Lugar das Raízes são aqueles onde, olhando o eixo, há número ímpar de polos+zeros à direita do ponto. Se fizer o esboço, você vai ver que os ramos que começaram no semiplano direito não conseguem atravessar pro esquerdo porque não há zeros lá nem assimptotas apontando pra esquerda o suficiente.
Passo 5
Olha a conclusão prática:
- Há 2 pólos iniciais em
. - O zero está em
, também em . - Os outros 2 ramos vão para o infinito, mas pelos cálculos de assimptotas (ângulos em 60°, 180°, 300°) também não entram todos no semiplano esquerdo.
Isso quer dizer que, para qualquer K ≥ 0, pelo menos 2 pólos fechados ficam com parte real positiva. Logo, o sistema NUNCA fica completamente estável se a gente variar K.
Resposta
O Lugar das Raízes mostra que sempre haverá pólos fechados com parte real positiva. Portanto, para nenhum valor de K ≥ 0 o sistema se torna estável – ele é instável em todas as condições de ganho.