Analise a estabilidade dos sistemas indicados abaixo usando o método do lugar das raízes.
c) GM F(s)=-0,5 s+12 s^3+2 s^2-s+1

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem: o exercício pede pra analisar a estabilidade do sistema
Gₘf(s) =
usando Lugar das Raízes. Isso é matéria de Controle Clássico – especificamente como varia a posição dos pólos fechados conforme a gente muda o ganho K.
Para resolver a gente vai precisar:
  1. Identificar a função de malha aberta com ganho K.
  2. Encontrar polos e zeros.
  3. Desenhar quais trechos do eixo real fazem parte do Lugar das Raízes.
  4. Ver quantos pólos começam em cada lugar e pra onde vão.
  5. Checar se algum ramo entra no semiplano esquerdo (estável) ou fica no direito (instável).

Passo 2

Primeiro, montamos a função de malha aberta L(s) ;=; K,-0,5,s + 12,s^3 + 2,s^2 - s + 1,, com um ganho K na frente de Gₘf(s). Ou seja:
1 + L(s) ;=; 0 Longrightarrow 2,s^3 + 2,s^2 - s + 1 ;+; K,(-0,5,s + 1) ;=; 0
e o sistema em realimentação unitária tem característica
Nosso objetivo: olhar o “Lugar das Raízes” desses pólos fechados enquanto K varia em .

Passo 3

Vamos à lista de pólos e zeros de 2,s^3 + 2,s^2 - s + 1 = 0 :
  1. Zeros de malha aberta (numerador):
    (é um zero no semiplano direito).
  2. Polos de malha aberta (denominador) vêm de Se você calcular (por tentativa ou ferramenta), acha um pólo real em e um par complexo cujas partes reais são positivas (somando algo como 0,52) – ou seja, dois pólos iniciais já estão em .

Passo 4

Regras rápidas do Lugar das Raízes:
  • O número de ramos = número de polos de malha aberta = 3.
  • Cada ramo parte de um pólo inicial (esses 3) e vai para um zero (aqui só temos 1 zero em ) ou para “zeros no infinito” (os outros 2 vão para o infinito).
  • Trechos do eixo real que pertencem ao Lugar das Raízes são aqueles onde, olhando o eixo, há número ímpar de polos+zeros à direita do ponto. Se fizer o esboço, você vai ver que os ramos que começaram no semiplano direito não conseguem atravessar pro esquerdo porque não há zeros lá nem assimptotas apontando pra esquerda o suficiente.

Passo 5

Olha a conclusão prática:
  • Há 2 pólos iniciais em .
  • O zero está em , também em .
  • Os outros 2 ramos vão para o infinito, mas pelos cálculos de assimptotas (ângulos em 60°, 180°, 300°) também não entram todos no semiplano esquerdo.
    Isso quer dizer que, para qualquer K ≥ 0, pelo menos 2 pólos fechados ficam com parte real positiva. Logo, o sistema NUNCA fica completamente estável se a gente variar K.

Resposta

O Lugar das Raízes mostra que sempre haverá pólos fechados com parte real positiva. Portanto, para nenhum valor de K ≥ 0 o sistema se torna estável – ele é instável em todas as condições de ganho.

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