Um sistema massa-mola com 10 kg de massa e uma rigidez
vibra sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito é 0,125 . Quando sujeito a uma força harmônica de frequência
e amplitude de 100 N , deduza e calcule a amplitude da resposta em regime, considerando que o coeficiente de atrito (Coulomb) esteja relacionado ao amortecimento viscoso equivalente,
, onde
.g é a força de reação normal.
Passo 1
Beleza, olha só o que a gente tem: um sistema massa-mola com massa m = 10 kg, rigidez k = 4000 N/m, e atrito de Coulomb com coeficiente μ = 0,125 sobre superfície horizontal. Ele é forçado por uma força harmônica de amplitude F₀ = 100 N e frequência f = 2,2 Hz. A ideia é achar a amplitude X da vibração em regime permanente, modelando o atrito seco como um amortecimento viscoso equivalente, dado por
c_{eq} \;=\;\frac{4\,\mu\,N}{\pi\,\omega\,X}
onde N = m·g (força normal) e ω = 2πf.
Conteúdo: vibração forçada amortecida (massa-mola), frequência natural, amortecimento viscoso equivalente.
O que a gente precisa:
Conteúdo: vibração forçada amortecida (massa-mola), frequência natural, amortecimento viscoso equivalente.
O que a gente precisa:
- calcular N e ω;
- montar a fórmula da amplitude para sistema massa-mola-amortecimento;
- substituir c_{eq} e isolar X numa equação que envolve X dos dois lados;
- resolver pra X numericamente.
Passo 2
Primeiro, chama a gravidade de g ≈ 9,81 m/s² e calcula a força normal:
N = m\,g = 10\;\text{kg} \times 9{,}81\;\text{m/s}^2 = 98{,}1\;\text{N}.
E a frequência angular da excitação:
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2{,}2 \approx 13{,}82\;\text{rad/s}.
Passo 3
Na vibração forçada amortecida, a amplitude X satisfaz
X \;=\;\frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (c\,\omega)^2}}.
Aqui a gente vai usar c = c_{eq}, ou seja
c_{eq} = \frac{4\,\mu\,N}{\pi\,\omega\,X}.
Substituindo isso dentro da raiz dá uma equação em que X aparece dos dois lados:
X = \frac{F_0}{\sqrt{\bigl(k - m\omega^2\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{4\mu N}{\pi\omega X}\,\omega\bigr)^2}}
= \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + \bigl(\tfrac{4\mu N}{\pi X}\bigr)^2}}.
Passo 4
Para isolar X a gente eleva ao quadrado e reorganiza:
X^2\bigl(k - m\omega^2\bigr)^2 + \frac{16\,\mu^2\,N^2}{\pi^2} = F_0^2.
Então
X^2 = \frac{F_0^2 - \tfrac{16\mu^2 N^2}{\pi^2}}{(k - m\omega^2)^2},
\quad
X = \frac{\sqrt{\,F_0^2 - \tfrac{16\mu^2 N^2}{\pi^2}\,}}{\bigl|k - m\omega^2\bigr|}.
Agora é só colocar os números:
- F₀² = 100² = 10000
- 16 μ² N²/π² = 16·(0,125)²·(98,1)²/π² ≈ 243,8
- k - mω² = 4000 - 10·(13,82)² ≈ 4000 - 1911,1 = 2088,9
Logo
X = \frac{\sqrt{10000 - 243,8}}{2088,9}
= \frac{\sqrt{9756,2}}{2088,9}
\approx \frac{98,78}{2088,9}
\approx 0,0473\;\text{m}.
Resposta
A amplitude da resposta em regime é aproximadamente 0,0473 m (≈ 47,3 mm).