Analise a resolução de cada um dos limites a seguir, caso esteja certa escrever correta caso não, apontar o erro e corrigir.
lim x 2 5 xx-2=100 stackrel(1)Rightarrow que caracteriza uma indeterminação

lim x 2^+ 5 xx-2 stackrel(2)Rightarrow lim x 2^+ 5 xx-2=100^+=infty
lim x 2^- 5 xx-2 stackrel(3)Rightarrow lim x 2^- 5 xx-2=100^-=infty
Portanto, lim x 2^+ 5 xx-2 stackrel(4)Rightarrow lim x 2^+ 5 xx-2=infty

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de limites que você enviou. A gente vai analisar se as resoluções apresentadas estão corretas ou não. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais, especialmente quando o denominador se aproxima de zero. Vamos precisar entender como o sinal do denominador afeta o resultado final do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o limite geral:
lim x 2 5xx-2 = 100 stackrel(1)Rightarrow que caracteriza uma indeterminação çã
Aqui, está sendo dito que quando $ x $ se aproxima de 2, a expressão resulta em $ \frac{10}{0} $, o que caracteriza uma indeterminação. Mas, na verdade, $ \frac{10}{0} $ não é uma forma indeterminada. Indeterminações são como $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $, onde precisamos de mais informações para resolver. No caso de $ \frac{10}{0} $, sabemos que o resultado tende para $ \infty $ ou $ -\infty $, dependendo do lado de onde $ x $ se aproxima. Portanto, a afirmação de que é uma indeterminação está errada.

Passo 3

Vamos analisar o limite lateral direito:
lim x 2^+ 5xx-2 stackrel(2)Rightarrow lim x 2^+ 5xx-2 = 100^+ = infty
Quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita ($ 2^{+} $), o denominador $ x - 2 $ está se aproximando de $ 0^{+} $ (um número muito pequeno positivo). Assim, $ \frac{10}{0^{+}} $ realmente tende a $ \infty $. Essa parte está correta.

Passo 4

Agora, vamos ver o limite lateral esquerdo:
lim x 2^- 5xx-2 stackrel(3)Rightarrow lim x 2^- 5xx-2 = 100^- = infty
Aqui, $ x $ está se aproximando de 2 pela esquerda ($ 2^{-} $), então o denominador $ x - 2 $ está se aproximando de $ 0^{-} $ (um número muito pequeno negativo). Nesse caso, $ \frac{10}{0^{-}} $ tende a $ -\infty $, e não a $ \infty $ como foi indicado na resolução original. Portanto, há um erro nessa parte da resolução.

Passo 5

Por fim, a conclusão geral foi:
lim x 2^+ 5xx-2 stackrel(4)Rightarrow lim x 2^+ 5xx-2 = infty
Isso está correto para o limite lateral direito, mas a análise completa dos limites laterais mostra que o limite pela esquerda é $ -\infty $. Como os limites laterais não são iguais (um tende a $ \infty $ e o outro a $ -\infty $), o limite geral $ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{5x}{x-2} $ não existe.

Resposta

A resolução apresentada tem dois erros:
  1. No primeiro passo, afirmar que $ \frac{10}{0} $ caracteriza uma indeterminação está incorreto. Na verdade, $ \frac{10}{0} $ indica que o limite tende a $ \infty $ ou $ -\infty $.
  2. No terceiro passo, ao calcular $ \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{5x}{x-2} $, o resultado correto é $ -\infty $, e não $ \infty $.
Portanto, o limite geral $ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{5x}{x-2} $ não existe, já que os limites laterais são diferentes ($ \infty $ pela direita e $ -\infty $ pela esquerda).

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